In de kwantumtheorie van de zwaartekracht moet juist de geometrie van ruimte-tijd continu fluctueren, zodat zelfs het onderscheid tussen verleden en toekomst kan worden gewist. Blijkbaar heeft onder de fundamentele natuurkrachten de zwaartekracht een speciale status. Andere krachten, zoals elektromagnetische krachten, werken in de ruimte-tijd, die dient als een eenvoudige container voor fysieke gebeurtenissen, een versiering waartegen ze plaatsvinden. Zwaartekracht heeft een heel ander karakter. Het is geen kracht die werkt tegen een passieve achtergrond van ruimte en tijd; het is eerder een vervorming van de ruimtetijd zelf. Het zwaartekrachtveld is de "kromming" van ruimte-tijd. Dit zijn de begrippen zwaartekracht, vastgesteld door A. Einstein als resultaat van het moeilijkste, zoals hij zelf zei, werk in zijn leven.
De kwalitatieve verschillen tussen zwaartekracht en andere krachten worden nog duidelijker wanneer men probeert een zwaartekrachttheorie te formuleren die consistent is met de grondslagen van de kwantummechanica. De kwantumwereld staat nooit stil. In de kwantumtheorie van elektromagnetisme bijvoorbeeld, fluctueren de waarden van elektromagnetische velden continu. In een universum dat de wetten van de kwantumzwaartekracht gehoorzaamt, zal de kromming van de ruimte-tijd en zelfs de structuur zelf ook moeten fluctueren. Het is mogelijk dat de volgorde van sommige gebeurtenissen in de wereld en de betekenis van de concepten uit het verleden en de toekomst aan verandering onderhevig zijn.
Men kan stellen dat als dergelijke verschijnselen zouden bestaan, ze zeker al lang geleden ontdekt zouden zijn. De kwantummechanische effecten van de zwaartekracht zouden zich echter alleen op extreem kleine schaal moeten manifesteren; M. Planck was de eerste die de aandacht vestigde op een dergelijke schaal. In 1899 introduceerde hij zijn beroemde constante, het actiekwantum genaamd, en noemde ħ. Planck probeerde het stralingsspectrum van een zwart lichaam te verklaren, d.w.z. lichtstraling uitgezonden door een hete, gesloten holte door een klein gaatje. Hij merkte op dat zijn constante samen met de lichtsnelheid © en de Newtoniaanse gravitatieconstante (G) een absoluut systeem van eenheden vormen. Deze eenheden dienen als natuurlijke schalen voor de kwantumtheorie van zwaartekracht 1.
Planck-eenheden hebben niets te maken met gewone fysieke representaties. De lengte-eenheid is bijvoorbeeld 1,610–33 cm. Dit is 21 ordes van grootte kleiner dan de diameter van atoomkernen. Globaal gesproken is de verhouding tussen de lengte van Planck en de grootte van de kernen hetzelfde als de verhouding tussen de grootte van een persoon en de diameter van onze Melkweg. De Planck-tijdseenheid ziet er nog fantastischer uit: 5.410–44 s. Om deze ruimte-tijdschalen te bestuderen met behulp van experimentele installaties die zijn gebouwd op basis van moderne technologie, is een versneller van elementaire deeltjes ter grootte van een Melkwegstelsel nodig!
Op dit gebied van de wetenschap is het onmogelijk om definitieve conclusies te trekken uit experimenten, daarom heeft de kwantumtheorie van de zwaartekracht een enigszins speculatief karakter, wat ongebruikelijk is voor de natuurkunde. In wezen is deze theorie echter conservatief. Het maakt gebruik van beproefde theorieën om er rigoureuze conclusies uit te trekken. Als we de bijzonderheden negeren, dan is het hoofddoel van kwantumzwaartekracht om drie componenten te combineren in één theorie: de speciale relativiteitstheorie, Einsteins zwaartekrachttheorie en de kwantummechanica. Deze synthese is nog niet volledig gerealiseerd, maar gaandeweg hebben we veel geleerd. Bovendien wees de ontwikkeling van een realistische theorie van kwantumzwaartekracht op de enige manier om de oerknal en het uiteindelijke lot van zwarte gaten te begrijpen, d.w.z. het begin en de verre toekomst van het universum.
Van alle samenstellende delen van de kwantumzwaartekracht is de speciale relativiteitstheorie historisch als eerste naar voren gekomen. In deze theorie worden ruimte en tijd gecombineerd op basis van het experimenteel geverifieerde postulaat van de onafhankelijkheid van de lichtsnelheid voor verschillende waarnemers die zich in de lege ruimte bewegen, vrij van externe krachten. De gevolgen van dit postulaat, geïntroduceerd door Einstein in 1905, kunnen worden beschreven aan de hand van ruimte-tijddiagrammen, waarin gebogen lijnen de positie van objecten in de ruimte weergeven als een functie van tijd. Deze curven worden objectwereldlijnen genoemd.
Eenvoudigheidshalve ga ik niet in op de twee ruimtelijke dimensies. Vervolgens kan de wereldlijn worden getekend op een tweedimensionale plot, waarbij de ruimtelijke as horizontaal is gericht en de temporele as verticaal. De verticale lijn op zo'n grafiek geeft de wereldlijn weer van een object dat in rust is in het referentiekader dat is geselecteerd voor metingen, en de hellende lijn vertegenwoordigt de wereldlijn van een object dat met constante snelheid in dit referentiekader beweegt. Een gekromde wereldlijn beschrijft de beweging van een versneld object.
Promotie video:
Figuur: 1. De lichtkegel, die de gebieden van het heelal onderscheidt die bereikbaar zijn vanaf een bepaald punt in de ruimte-tijd, is moeilijk te definiëren in de kwantumtheorie van de zwaartekracht. Kegel (a) is een oppervlak in vierdimensionale ruimte-tijd, maar hier wordt het tweedimensionaal weergegeven: één ruimtelijke dimensie wordt verwijderd. Als het zwaartekrachtveld wordt gekwantiseerd, kan de vorm van de kegel op korte afstanden sterk fluctueren (b). In feite zijn de fluctuaties niet direct te onderscheiden; in plaats daarvan zal de lichtkegel "wazig lijken". Als gevolg hiervan kan de vraag of twee punten in de ruimte-tijd met elkaar kunnen worden verbonden door een signaal dat langzamer beweegt dan licht, alleen een probabilistisch antwoord krijgen (c).
Elk punt in het ruimte-tijddiagram bepaalt de positie van een object in de ruimte op een bepaald moment in de tijd; het wordt een evenement genoemd. De ruimtelijke afstand tussen twee gebeurtenissen hangt af van het geselecteerde referentiekader, hetzelfde geldt voor het tijdsinterval ertussen. Het concept van gelijktijdigheid hangt af van het referentiekader. Als twee gebeurtenissen met een horizontale lijn kunnen worden verbonden, dan zijn ze gelijktijdig in dit referentiekader, maar niet in andere frames.
Om een verbinding tot stand te brengen tussen referentieframes die ten opzichte van elkaar bewegen, is het nodig om een gemeenschappelijke meeteenheid voor ruimtelijke afstanden en tijdsintervallen te introduceren. De vermenigvuldiger voor de conversie is de lichtsnelheid, die een bepaalde afstand verbindt met de tijd die het licht nodig heeft om deze af te leggen. Ik zal meters kiezen als maateenheid voor ruimte- en tijdsintervallen. In dit systeem van eenheden is één meter tijd gelijk aan ongeveer 3⅓ nanoseconden (1 ns = 10–9 s).
Als ruimte en tijd in dezelfde eenheden worden gemeten, wordt de wereldlijn van het foton (kwantum van licht) gekanteld onder een hoek van 45 °. De wereldlijn van elk materieel object wijkt af van de verticaal met een hoek van minder dan 45 °. Dit is gewoon een andere formulering van de stelling dat de snelheid van elk object altijd minder is dan de lichtsnelheid. Als de wereldlijn van een object of signaal meer dan 45 ° afwijkt van de verticale as, dan zal dit object of signaal vanuit het oogpunt van sommige waarnemers in de tijd in de tegenovergestelde richting bewegen. Door een emitter van superluminale signalen te creëren, zou het mogelijk zijn om informatie over te brengen naar je eigen verleden, wat in strijd zou zijn met het causaliteitsbeginsel. Dergelijke signalen zijn verboden in de speciale relativiteitstheorie.
Beschouw twee gebeurtenissen op de wereldlijn van een waarnemer die zonder versnelling beweegt. Stel dat deze gebeurtenissen in een of ander referentiekader worden gescheiden door vier meter ruimte en vijf meter tijd. Dan beweegt onze waarnemer zich in dit referentiekader met een snelheid gelijk aan 4/5 van de lichtsnelheid. In een ander systeem zal de snelheid ervan verschillen en veranderen de overeenkomstige ruimtelijke en temporele afstanden. Er is echter een hoeveelheid die in alle referentiekaders gelijk is. Deze onveranderlijke grootheid wordt de "juiste tijd" tussen twee gebeurtenissen genoemd; het is gelijk aan het tijdsinterval gemeten door het horloge dat onze waarnemer met zich meedroeg.
In het geselecteerde referentiekader is de wereldlijn tussen gebeurtenissen de hypotenusa van een rechthoekige driehoek met een basis van 4 m en een hoogte van 5 m. De 'juiste tijd' is gelijk aan de 'lengte' van deze hypotenusa, maar wordt op een ongebruikelijke manier berekend met behulp van de 'pseudo-Pythagoras'-stelling. Ten eerste zijn de benen van de driehoek in het kwadraat - net als in de gebruikelijke stelling van Pythagoras. Het kwadraat van de hypotenusa is in de speciale relativiteitstheorie echter niet gelijk aan de som, maar aan het verschil tussen de kwadraten van de benen.
Figuur: 2. De wereldlijn vertegenwoordigt een pad door ruimte en tijd. Hier worden twee wereldlijnen getoond die een variatie van Einsteins tweelingparadox tonen. De "gekantelde" wereldlijn van de tweeling die versnelt op het keerpunt bij terugkeer van een reis lijkt langer te zijn, maar deze tweeling zal een kortere "juiste tijd" registreren. De rechte lijn komt inderdaad overeen met het langste interval tussen twee punten op het ruimte-tijddiagram. De figuur toont de vertrek- en aankomsttijden van signalen die tussen tweelingen worden uitgewisseld.
In ons voorbeeld is de juiste tijd gelijk aan drie meter. Het blijft gelijk aan drie meter in het referentiekader van elke waarnemer die zonder versnelling beweegt. Het is de onveranderlijkheid van de juiste tijd die je in staat stelt om ruimte en tijd te combineren tot één werkelijk bestaande ruimte-tijd. De ruimte-tijd geometrie gebaseerd op de "pseudo-pythagorische" stelling is niet Euclidisch, maar in veel opzichten vergelijkbaar. In de Euclidische meetkunde kan men uit de vele paden die twee punten verbinden, één uiterste kiezen: een rechte lijn. Hetzelfde geldt voor de geometrie van ruimte-tijd. In de Euclidische meetkunde is dit extremum echter altijd een minimum (een rechte lijn is de kortste afstand tussen punten), terwijl het in de ruimte-tijd altijd een maximum is, als twee punten kunnen worden verbonden door een wereldlijn die geen FTL-signalen bevat.
In 1854 generaliseerde de Duitse wiskundige B. Riemann de Euclidische meetkunde naar het geval van gekromde ruimtes. Tweedimensionale gekromde ruimtes worden sinds de oudheid bestudeerd. Ze werden gekromde oppervlakken genoemd en werden meestal bekeken vanuit het perspectief van de driedimensionale Euclidische ruimte waarin ze waren geplaatst. Riemann toonde aan dat gekromde ruimtes een onbeperkt aantal dimensies kunnen hebben en dat om ze te bestuderen, het niet nodig is aan te nemen dat ze zich in een Euclidische ruimte van de hoogste dimensie bevinden.
Riemann wees er ook op dat de fysieke ruimte waarin we bestaan, kan worden gekromd. Volgens hem kan deze vraag alleen experimenteel worden opgelost. Hoe is het mogelijk om, althans in principe, zo'n experiment uit te voeren? Ze zeggen dat de Euclidische ruimte plat is. Parallelle lijnen in vlakke ruimte vormen een homogeen rechthoekig gaas. Dit is het eigendom van vlakke ruimte. Wat gebeurt er als je hetzelfde raster op het aardoppervlak probeert te tekenen, ervan uitgaande dat het vlak is?
Het resultaat is te zien vanuit een vliegtuig dat op een heldere dag over de gecultiveerde velden van de Great Plains vliegt. Wegen die van west naar oost en van noord naar zuid lopen, hebben het hele land in gelijke delen verdeeld (bijvoorbeeld een vierkante mijl). Oost-westwegen zijn vaak bijna rechte lijnen die zich kilometers ver uitstrekken. Maar de noord-zuidwegen zien er anders uit. Als je je blik langs zo'n weg volgt, zie je om de paar kilometer een onverwachte bocht naar het oosten of westen. Deze bochten zijn te wijten aan de kromming van het aardoppervlak. Als dat niet het geval is, zullen de wegen naar het noorden samenkomen en zullen de delen die ze scheiden minder dan een vierkante mijl in oppervlakte zijn.
In het driedimensionale geval kan men zich de constructie voorstellen van een gigantische roosterstructuur (zoals een steiger) waarin de randen op exact 90 ° en 180 ° samenkomen. Als de ruimte vlak is, zal de constructie van een dergelijke steiger geen problemen opleveren. Als de ruimte gebogen is, moet u vroeg of laat randen van verschillende lengtes gebruiken, waarbij u sommige verlengt of verkort om in elkaar te passen.
Dezelfde generalisatie kan worden toegepast op de geometrie van de speciale relativiteitstheorie die Riemann toepaste op de Euclidische meetkunde; het werd tussen 1912 en 1915 uitgevoerd door A. Einstein met de hulp van de wiskundige M. Grossman. Het resultaat was de theorie van gekromde ruimtetijd. In de handen van Einstein werd het de zwaartekrachttheorie. In de speciale relativiteitstheorie werd ruimte-tijd als plat beschouwd, d.w.z. de afwezigheid van zwaartekrachtvelden werd geïmpliceerd. Er is een zwaartekrachtsveld in gekromde ruimtetijd; in feite zijn "kromming" en "zwaartekrachtveld" slechts synoniemen.
Omdat Einsteins theorie van het zwaartekrachtveld een generalisatie is van de speciale relativiteitstheorie, noemde hij deze algemene relativiteitstheorie. Deze naam is misbruikt. De algemene relativiteitstheorie is eigenlijk minder "relatief" dan de speciale theorie. De vlakke ruimte-tijd heeft geen karakteristieke kenmerken, is homogeen en isotroop, en deze omstandigheid garandeert de strikte relativiteit van posities en snelheden. Maar zodra in ruimte-tijd "heuvels" of lokale gebieden met kromming verschijnen, krijgen de posities en snelheden een absoluut karakter: ze kunnen worden bepaald in relatie tot deze "heuvels". Ruimte-tijd is niet langer slechts een passieve arena van actie voor de natuurkunde, het krijgt zelf fysieke eigenschappen.
In de theorie van Einstein wordt kromming gecreëerd door materie. In principe is de relatie tussen de hoeveelheid materie en de mate van kromming eenvoudig, maar de berekeningen zijn vrij complex. Om de kromming op een bepaald punt te beschrijven, moet u de waarden op dit punt kennen van twintig functies van ruimte-tijdcoördinaten. Tien van deze functies komen overeen met dat deel van de kromming dat zich vrij voortplant in de vorm van zwaartekrachtgolven, d.w.z. in de vorm van "rimpel" kromming. De overige tien functies worden bepaald door de verdeling van massa, energie, momentum, impulsmoment en interne spanningen in de stof, evenals de Newtoniaanse gravitatieconstante G.
De constante G is erg klein als we rekening houden met de waarden van de massadichtheid die in terrestrische omstandigheden worden gevonden. Er zijn veel massa's voor nodig om de ruimtetijd merkbaar te buigen. De reciproque van 1 / G kan worden beschouwd als een maat voor de "starheid" van ruimte-tijd. Vanuit het oogpunt van alledaagse ervaring is de ruimtetijd erg rigide. De hele massa van de aarde creëert een ruimte-tijdkromming die slechts een miljardste is van de kromming van het aardoppervlak.
In de theorie van Einstein volgt een lichaam dat vrij valt of vrij ronddraait in een baan in zijn beweging langs een wereldlijn die een geodetisch wordt genoemd. Een geodetische verbinding tussen twee ruimte-tijdpunten is een wereldlijn van extreme lengte; het is een generalisatie van het concept van een rechte lijn. Als je mentaal een gekromde ruimte-tijd plaatst in een vlakke ruimte van de hoogste dimensie, dan zal de geodetische lijn een gekromde lijn zijn.
Het effect van kromming op lichaamsbeweging wordt vaak geïllustreerd door een model waarin een bal over een gebogen rubberen oppervlak rolt. Dit model is misleidend omdat het alleen ruimtelijke kromming kan reproduceren. In het echte leven worden we gedwongen om in het vierdimensionale universum te blijven, in onze gewone ruimte-tijd. Bovendien kunnen we beweging in dit universum niet vermijden, terwijl we onvermoeibaar vooruit in de tijd rennen. Tijd is het belangrijkste element. Het blijkt dat hoewel de ruimte gekromd is in het zwaartekrachtveld, de kromming van de tijd veel belangrijker is. De reden hiervoor ligt in de hoge waarde van de lichtsnelheid, die de schaal van ruimte en tijd met elkaar verbindt.
Nabij de aarde is de kromming van de ruimte zo klein dat deze niet kan worden gedetecteerd door statische metingen. Maar in onze ongebreidelde race om de tijd wordt de kromming in dynamische situaties merkbaar, net zoals een hobbel op een snelweg onzichtbaar is voor een voetganger, maar gevaarlijk wordt voor een snel rijdende auto. Hoewel de nabije aarde met een hoge mate van nauwkeurigheid als vlak kan worden beschouwd, zijn we in staat de kromming van de ruimte-tijd te detecteren door simpelweg een bal in de lucht te gooien. Als de bal 2 seconden in de vlucht is, beschrijft hij een boog met een hoogte van 5 m. Gedurende dezelfde 2 seconden legt het licht een afstand van 600.000 km af. Als we ons voorstellen dat een boog met een hoogte van 5 m horizontaal wordt verlengd tot een afmeting van 600.000 km, dan zal de kromming van de resulterende boog overeenkomen met de kromming van de ruimte-tijd.
Figuur: 3. De kromming van ruimte-tijd verschijnt als een zwaartekrachtveld in aanwezigheid van massa's. Als je de bal 5 m omhoog gooit (links), dan vliegt hij 2 seconden. De beweging op en neer is een manifestatie van de kromming van ruimte-tijd nabij het aardoppervlak. De kromming van het traject van de bal is gemakkelijk waar te nemen, maar in werkelijkheid is het erg klein als ruimte en tijd in dezelfde eenheden worden gemeten. Seconden kunnen bijvoorbeeld worden omgezet in meters door simpelweg te vermenigvuldigen met de lichtsnelheid, d.w.z. met 300 miljoen meter per seconde. Als dit wordt gedaan, wordt het traject een zeer ondiepe boog, waarvan de hoogte slechts 5 m is en de lengte 600 miljoen m (rechts). In de figuur wordt de hoogte van het traject vergroot.
Riemann's introductie van ideeën over gebogen ruimtes heeft bijgedragen aan onderzoek op een ander groot gebied van de wiskunde, de topologie. Het was bekend dat oneindige tweedimensionale oppervlakken kunnen bestaan in een oneindige verscheidenheid aan varianten die niet bij elkaar worden gebracht door continue vervorming van het oppervlak; een eenvoudig voorbeeld hiervan is een bol en een torus. Riemann wees erop dat hetzelfde geldt voor gekromde ruimtes met een hogere dimensie, en nam de eerste stappen om ze te classificeren.
Gebogen ruimtetijd (meer precies, de modellen) kan ook een van de vele topologische typen zijn. Vanuit het oogpunt van de overeenstemming met het echte universum, moeten sommige modellen worden afgewezen omdat ze leiden tot paradoxen die verband houden met causaliteit, of omdat het onmogelijk is om de bekende natuurkundige wetten erin te formuleren. Maar er zijn nog veel mogelijkheden.
Het beroemde model van het heelal werd in 1922 voorgesteld door de Sovjet-wiskundige AA Fridman. In de speciale relativiteitstheorie is ruimte-tijd niet alleen vlak, maar ook oneindig in zowel tijd als ruimte. In het Friedman-model heeft elke driedimensionale ruimtelijke sectie van ruimte-tijd een eindig volume en een topologie van een driedimensionale bol. Een driedimensionale bol is een ruimte die kan worden ingesloten in een vierdimensionale Euclidische ruimte, zodat al zijn punten zich op een bepaalde afstand van een bepaald punt bevinden. Sinds E. Hubble in de jaren twintig van de vorige eeuw de uitbreiding van het heelal ontdekte, is Friedmans model een favoriet van kosmologen geworden. Samen met Einsteins zwaartekrachttheorie voorspelt Friedmanns model de oerknal op het eerste moment van de uitdijing van het universum, toen de druk oneindig groot was. Dit wordt gevolgd door een extensie,waarvan de snelheid langzaam afneemt als gevolg van de wederzijdse aantrekkingskracht van alle materie in het heelal.
In Friedmann ruimte-tijd kan elke gesloten curve continu tot een punt worden samengetrokken. Zulke ruimte-tijd zou eenvoudigweg verbonden zijn. Het echte universum heeft misschien niet zo'n eigenschap. Blijkbaar beschrijft het model van Friedman heel goed de gebieden in de ruimte die zich binnen enkele miljarden lichtjaren van de Melkweg bevinden, maar het hele universum is ontoegankelijk voor onze waarneming.
Een eenvoudig voorbeeld van een meervoudig verbonden universum is een universum waarvan de structuur in een bepaalde ruimtelijke richting zich tot in het oneindige (ad infinitum) herhaalt als een achtergrond. Elk melkwegstelsel in zo'n universum is lid van een oneindige rij identieke melkwegstelsels die van elkaar zijn gescheiden door een vaste (en noodzakelijkerwijs enorme) afstand. Als de leden van deze serie sterrenstelsels inderdaad absoluut identiek zijn, dan rijst de vraag of ze überhaupt als verschillende sterrenstelsels moeten worden beschouwd. Het is voordeliger om de hele reeks als één melkwegstelsel weer te geven. Als je dan van het ene lid van de rij naar het andere reist, betekent dit dat de reiziger terugkeert naar het startpunt. Het traject van zo'n reis is een gesloten bocht die niet tot op een punt kan worden samengetrokken. Het is als een gesloten curve op het oppervlak van een cilinder die de cilinder één keer omsluit. Dit zich herhalende universum wordt cilindrisch genoemd.
Een ander voorbeeld van een meervoudig verbonden structuur is het handvatmodel 2 dat in 1957 werd voorgesteld door J. Wheeler (nu aan de Universiteit van Texas in Austin). Hier manifesteert de multi-connectiviteit zich op een veel kortere afstand dan in het vorige geval. Een tweedimensionale "handgreep" kan worden geconstrueerd door twee ronde gaten in het tweedimensionale oppervlak te snijden en de randen van de sneden soepel samen te voegen (zie Fig. 4). In een driedimensionale ruimte blijft de procedure hetzelfde, maar is het moeilijker om deze te visualiseren.
Figuur: 4. "Handvat" in ruimte-tijd is een hypothetische formatie die de topologie van het heelal kan veranderen. U kunt een "grip" op een vlak creëren door twee gaten te snijden en hun randen in buizen te extruderen, die vervolgens met elkaar worden verbonden. Op het oorspronkelijke vlak kan elke gesloten curve tot een punt worden samengetrokken (weergegeven in kleur). De curve die door de "handgreep" gaat, kan echter niet worden vastgedraaid. Een "handvat" in driedimensionale ruimte verschilt niet fundamenteel van een "handvat" in vierdimensionale ruimte-tijd.
Omdat in de oorspronkelijke ruimte twee gaten op grote afstand van elkaar kunnen zijn en toch door de "nek" kunnen worden verbonden, is zo'n "handvat" een favoriet apparaat in science fiction geworden om sneller dan het licht van de ene plaats in de ruimte naar de andere te gaan: je hoeft alleen maar te "doorboren" er zijn twee gaten in de ruimte, verbind ze en "kruip" door de nek. Helaas, zelfs als het mogelijk is om een dergelijke "perforator" te bouwen (wat erg twijfelachtig lijkt), zal het systeem niet werken. Als de geometrie van ruimte-tijd voldoet aan de vergelijkingen van Einstein, dan moet de "pen" een dynamisch object zijn. Het bleek dat de gaten die het verbindt, noodzakelijkerwijs zwarte gaten moeten zijn waarvan er geen terugkeer is. Wat gebeurt er met de reiziger? De nek zal krimpen en alles binnenin wordt samengedrukt tot een oneindig hoge dichtheid,voordat het de uitgang bereikt.
Figuur: vijf. Afgelegen gebieden van het heelal kunnen in principe worden verbonden met behulp van een "handvat". Aangenomen kan worden dat dit de uitwisseling van signalen mogelijk maakt die sneller reizen dan het licht, maar in werkelijkheid zal een dergelijk schema niet werken. Op de foto hierboven links is de afstand tussen de gaten in de "buitenwereld" vergelijkbaar met de afstand door de "nek". Voor het "handvat" linksonder is de buitenafstand veel groter. In de onderste figuren, links en in het midden, wordt de ruimte weergegeven door een gekromd vlak, maar dit is het uitzicht vanuit het perspectief van een waarnemer in een ruimte van een hogere dimensie. Voor een waarnemer in een vliegtuig zal het inderdaad ongeveer vlak lijken. Ongeacht de lengte van de "nek", het is onmogelijk om er doorheen te gaan. De reden is dat het handvat altijd twee zwarte gaten met elkaar verbindt. "De nek wordt dunner"zoals te zien is op de afbeeldingen in het midden, en wat daar ook komt, wordt gecomprimeerd tot een oneindige dichtheid voordat het het andere uiteinde bereikt.
De fluctuerende topologie die kenmerkend is voor ruimte-tijd in sommige versies van de kwantumtheorie van zwaartekracht leidt tot ernstige fundamentele problemen. De foto rechts toont een "handvat" dat geleidelijk dunner werd en uiteindelijk verdween, waarbij twee "uitgroeiingen" achterbleven. Als zo'n proces mogelijk is, dan is ook het omgekeerde proces mogelijk. Met andere woorden, de "uitgroeiingen" kunnen versmelten tot een nieuw "handvat". Zo'n gebeurtenis lijkt waarschijnlijk wanneer de "uitgroeiingen" dichtbij zijn, en onmogelijk als ze ver van elkaar verwijderd zijn. Het idee van wat "dichtbij" of "ver" is, wordt echter geassocieerd met het inbedden van het oppervlak in een ruimte met hogere afmetingen. Voor een waarnemer aan de oppervlakte zelf, zouden beide gevallen afgebeeld in de figuren aan de rechterkant niet van elkaar te onderscheiden moeten zijn.
De kwantummechanica, de derde component van de kwantumtheorie van de zwaartekracht, werd in 1925 bedacht door W. Heisenberg en E. Schrödinger, maar de relativiteitstheorie werd in de oorspronkelijke formulering niet in aanmerking genomen. Desalniettemin ging het onmiddellijk gepaard met briljant succes, aangezien talloze experimentele waarnemingen, waarin kwantumeffecten domineerden en relativistische effecten geen of weinig rol speelden, lang op hun verklaring hadden gewacht. Het was echter bekend dat de elektronen in sommige atomen snelheden bereiken die zelfs in vergelijking met de lichtsnelheid niet kunnen worden verwaarloosd. Daarom liet het begin van de zoektocht naar relativistische kwantumtheorie niet lang op zich wachten.
Halverwege de jaren dertig realiseerde men zich volledig dat de combinatie van de kwantummechanica met de relativiteitstheorie tot een aantal volledig nieuwe feiten leidde. De volgende twee zijn de meest fundamentele. Ten eerste wordt elk deeltje geassocieerd met een bepaald type veld, en elk veld wordt geassocieerd met een hele klasse van niet te onderscheiden deeltjes. Elektromagnetisme en zwaartekracht konden niet langer als de enige fundamentele velden in de natuur worden beschouwd. Ten tweede zijn er twee soorten deeltjes die verschillen in de waarden van het draaiimpulsmoment. Deeltjes met een half geheel getal spin ½ħ, 1½ħ, etc. volg het uitsluitingsprincipe (geen twee deeltjes kunnen zich in dezelfde kwantumtoestand bevinden). Deeltjes met een geheel getal spin 0, ħ, 2ħ, etc. zijn 'socialer' en kunnen zich verzamelen in groepen met een willekeurig aantal deeltjes.
Deze verbazingwekkende gevolgen van de combinatie van de speciale relativiteitstheorie en de kwantummechanica zijn de afgelopen 50 jaar herhaaldelijk bevestigd. Kwantumtheorie gecombineerd met relativisme bracht een theorie voort die grootser is dan de simpele som der delen. Het synergetische, elkaar versterkende effect wordt nog meer uitgesproken als de zwaartekracht in de theorie wordt meegenomen.
In de klassieke natuurkunde wordt lege vlakke ruimtetijd een vacuüm genoemd. Het klassieke vacuüm heeft geen fysieke eigenschappen. In de kwantumfysica wordt de naam "vacuüm" gegeven aan een veel complexer object met een complexe structuur. Deze structuur is een gevolg van het bestaan van niet-verdwijnende vrije velden, d.w.z. velden ver van hun bronnen.
Een vrij elektromagnetisch veld is wiskundig equivalent aan een oneindige reeks harmonische oscillatoren, die kunnen worden gezien als veren met massa's aan hun uiteinden. In een vacuüm bevindt elke oscillator zich in de grondtoestand (de toestand met minimale energie). Een klassieke (niet kwantummechanische) oscillator in zijn grondtoestand staat op een bepaald punt dat overeenkomt met een minimum aan potentiële energie. Maar dit is onmogelijk voor een kwantumoscillator. Als de kwantumoscillator zich op een bepaald punt bevond, zou zijn positie met oneindige precisie bekend zijn. Volgens het onzekerheidsprincipe zou de oscillator dan een oneindig groot momentum en oneindige energie moeten hebben, wat onmogelijk is. In de grondtoestand van een kwantumoscillator wordt noch zijn positie noch momentum nauwkeurig bepaald. Beide zijn onderhevig aan willekeurige schommelingen. In een kwantumvacuüm fluctueert een elektromagnetisch veld (en alle andere velden).
Ondanks het feit dat veldfluctuaties in vacuüm willekeurig zijn, behoren ze tot een speciale klasse van fluctuaties. Ze gehoorzamen namelijk het relativiteitsbeginsel in de zin dat ze er hetzelfde uitzien voor elke waarnemer die met een willekeurige snelheid beweegt, maar zonder versnelling. Zoals kan worden aangetoond, volgt uit deze eigenschap dat de gemiddelde waarde van het veld nul is en dat de grootte van fluctuaties toeneemt met afnemende golflengte. Het uiteindelijke resultaat is dat de waarnemer geen kwantumfluctuaties kan gebruiken om zijn snelheid ten opzichte van vacuüm te bepalen.
Schommelingen kunnen echter worden gebruikt om de versnelling te bepalen. Dit werd in 1976 aangetoond door W. Unruh van de University of British Columbia (Vancouver, Canada). Het resultaat van Unruh was dat een hypothetische deeltjesdetector die een constante versnelling ondergaat, moet reageren op vacuümfluctuaties alsof hij in rust is in een gasvormig medium (dus niet in een vacuüm) met een temperatuur die evenredig is met de versnelling. Een niet-versnelde detector zou helemaal niet moeten reageren op kwantumfluctuaties.
De mogelijkheid van een dergelijk verband tussen temperatuur en versnelling heeft geleid tot een heroverweging van de term "vacuüm" en tot een begrip van het feit dat er verschillende soorten vacuüm zijn. Een van de eenvoudigste niet-standaard stofzuigers kan worden gegenereerd door herhaling in een kwantummechanische versie van een gedachte-experiment dat voor het eerst werd voorgesteld door Einstein. Stel je een gesloten liftkooi voor die vrij ronddrijft in de lege ruimte. Een zekere "speelse geest" begint de cabine te "trekken" zodat deze in beweging komt met een constante versnelling naar het plafond. Laten we ook aannemen dat de wanden van de cabine zijn gemaakt van een perfecte geleider, ongevoelig voor elektromagnetische straling, en dat de cabine volledig geëvacueerd is zodat deze geen deeltjes bevat. Einstein bedacht deze denkbeeldige setting om de gelijkwaardigheid van zwaartekracht en versnelling te illustreren,een analyse van het gedachte-experiment vanuit een modern standpunt laat echter zien dat er enkele puur kwantumeffecten te verwachten zijn.
Laten we beginnen met het feit dat op het moment dat de versnelling optreedt, de vloer van de auto een elektromagnetische golf afgeeft, die zich voortplant naar het plafond en vervolgens, gereflecteerd, heen en weer snelt. (Een gedetailleerde wiskundige analyse van de eigenschappen van de versnelde elektrische geleider is vereist om te laten zien waarom de golf wordt uitgezonden.) Het effect is vergelijkbaar met het creëren van een akoestische drukgolf in een met lucht gevulde cabine. Als we enige tijd de mogelijkheid van dissipatie van straling in de wanden van de cabine toestaan, dan zal de elektromagnetische golf veranderen in een gas van fotonen met een thermisch energiespectrum, d.w.z. er zal straling zijn van een absoluut zwart lichaam, kenmerkend voor een bepaalde temperatuur.
De cabine bevat nu een verdund gas van fotonen. Om ze kwijt te raken, kunt u buiten een koelkast met radiator gebruiken. Hiervoor is een bepaalde hoeveelheid energie nodig, die wordt geleverd door een externe bron. Hierdoor ontstaat er, nadat alle fotonen zijn weggepompt, een nieuw vacuüm. De nieuwe stofzuiger wijkt iets af van de standaard stofzuiger buiten de cabine. Het verschil is als volgt. Ten eerste zou de Unruh-detector, die samen met de liftcabine deelneemt aan een versnelde beweging, moeten reageren op veldfluctuaties in een standaardvacuüm buiten; hij zal echter geen reactie vinden op het nieuwe vacuüm binnenin. Ten tweede verschillen de twee stofzuigers in energie-inhoud.
Om de energie van een vacuüm te berekenen, moet je eerst enkele fundamentele vragen van de kwantumveldentheorie oplossen. Ik merkte hierboven op dat een vrij veld equivalent is aan een set harmonische oscillatoren. Fluctuaties in de grondtoestand zorgen voor wat restenergie nabij het vacuümveld, ook wel nulpuntsenergie genoemd. Aangezien een oneindig aantal veldoscillatoren geconcentreerd is in een eenheidsvolume, zou de vacuümenergie-dichtheid blijkbaar ook oneindig moeten zijn.
De oneindige waarde van de vacuümenergie-dichtheid vormt een ernstig probleem. Theoretici zijn er echter in geslaagd een aantal technische middelen uit te vinden om het te elimineren. Deze tools maken deel uit van een algemeen programma genaamd renormalisatietheorie, dat een recept biedt voor het omgaan met de verschillende oneindigheden die zich voordoen in de kwantumveldentheorie. Welke middelen er ook worden gebruikt, ze moeten universeel zijn in die zin dat ze niet speciaal voor een specifieke fysieke situatie moeten worden gecreëerd, maar in alle gevallen kunnen worden gebruikt. Ze zouden ook moeten leiden tot een verdwijnende energiedichtheid voor een standaardvacuüm. De laatste vereiste is essentieel voor consistentie met de theorie van Einstein, aangezien het standaardvacuüm het kwantumequivalent is van lege vlakke ruimtetijd. Als er wat energie in geconcentreerd is,dan zal de ruimtetijd niet vlak zijn.
In de regel geven verschillende benaderingen van de renormalisatietheorie dezelfde resultaten voor dezelfde problemen. Dit wekt vertrouwen in hun gerechtigheid. Wanneer deze benaderingen worden toegepast op de stofzuigers binnen en buiten de liftkooi, zullen ze resulteren in een energiedichtheid van nul buiten en een negatieve energiedichtheid in de lift. De verrassing is de negatieve energie van het vacuüm. Wat kan er minder zijn dan niets? Met een beetje nadenken wordt echter de redelijkheid van de negatieve waarde duidelijk. Thermische fotonen moeten in de cabine worden geplaatst, zodat de Unruh-detector op dezelfde manier reageert als de detector in een standaard vacuüm buiten. De toevoeging van fotonen zal ertoe leiden dat samen met hun energie de totale energie in de cabine gelijk wordt aan nul, d.w.z. hetzelfde als voor het vacuüm buiten.
Benadrukt moet worden dat dergelijke bizarre effecten vrij moeilijk te detecteren zijn. De versnellingen die we in het dagelijks leven tegenkomen, en zelfs in het geval van hogesnelheidsmechanismen, zijn te klein om de negatieve energie van het vacuüm in experimenten te registreren. Er is echter één geval waarin negatieve vacuümenergie werd waargenomen, zij het indirect. We hebben het over het effect dat in 1948 werd voorspeld door H. Casimir van het Philips-onderzoekslaboratorium in Nederland. Twee parallelle, gepolijste, ongeladen metalen platen worden in een vacuüm zeer dicht bij elkaar geplaatst. Het bleek dat ze zwak worden aangetrokken vanwege de kracht, waarvan de oorsprong verband houdt met de negatieve energiedichtheid van het vacuüm tussen de platen.
Figuur: 6. Een versnelde liftkooi is een gedachte-experiment dat de aard van het vacuüm in de kwantummechanica en het effect van versnelling of het zwaartekrachtveld daarop verklaart. De cabine wordt verondersteld leeg en geïsoleerd te zijn zodat er aanvankelijk een absoluut vacuüm heerst binnen en buiten. Terwijl de auto accelereert, zendt de vloer een elektromagnetische golf uit en wordt de lift gevuld met een verdund gas van quanta van elektromagnetische straling - fotonen (links). De koelkast, aangesloten op een soort externe energiebron, "pompt" de fotonen eruit (in het midden). Wanneer alle fotonen zijn verwijderd, meten foton-detectoren de energie van het vacuüm binnen en buiten (rechts). Terwijl het buitenapparaat door het vacuüm wordt versneld, reageert het op kwantummechanische veldfluctuaties die de ruimte doordringen, zelfs als er geen deeltjes zijn. De interne detector staat in rust ten opzichte van de lift en 'voelt' geen fluctuaties. Hieruit volgt dat de stofzuigers binnen en buiten de cabine niet gelijkwaardig zijn. Als we aannemen dat de energie van het "standaard" vacuüm buiten nul is, dan moet het vacuüm in de cabine negatieve energie hebben. Om de nulwaarde van de vacuümenergie in de lift te herstellen, is het nodig om de verwijderde fotonen terug te sturen. Het zwaartekrachtveld kan ook een negatief energievacuüm creëren.
Als ruimte-tijd gekromd is, wordt het vacuüm zelfs nog complexer. Kromming beïnvloedt de ruimtelijke verdeling van fluctuaties van kwantumvelden en kan, net als versnelling, negatieve vacuümenergie opwekken. Omdat de kromming van punt tot punt kan veranderen, kan de vacuümenergie ook veranderen, op sommige plaatsen positief en op andere negatief.
In elke zelfconsistente theorie moet energie worden behouden. Stel dat een toename van de kromming leidt tot een toename van de energiedichtheid van het vacuüm. Alleen al het bestaan van fluctuaties van kwantumvelden betekent dat er energie nodig is om ruimte-tijd te buigen. Dus ruimtetijd weerstaat kromming op precies dezelfde manier als in de theorie van Einstein.
In 1967 suggereerde AD Sacharov dat zwaartekracht een puur kwantumfenomeen zou kunnen zijn dat voortkomt uit de energie van het vacuüm. Hij suggereerde ook dat de Newtoniaanse constante G, of, equivalent, de stijfheid van ruimte-tijd kan worden berekend op basis van de eerste principes van de theorie. Dit voorstel stuitte op een aantal moeilijkheden. Ten eerste was het vereist dat de zwaartekracht, als een fundamenteel veld, werd vervangen door een soort ‘ijkveld van de grote eenwording’ opgewekt door de bekende elementaire deeltjes. Om toch de absolute schaal van eenheden te verkrijgen, is het nodig om een fundamentele massa te introduceren. Daarom zal de ene fundamentele constante eenvoudig worden vervangen door een andere.
Ten tweede, en blijkbaar belangrijker, leidt de berekende afhankelijkheid van de vacuümenergie van de kromming, zo bleek, tot een complexere zwaartekrachttheorie dan die van Einstein. De vacuümenergie is afhankelijk van het aantal en type van de geselecteerde elementaire velden en de renormalisatiemethode: het bleek dat de energie zelfs kan afnemen bij toenemende kromming. Dergelijke feedback zou betekenen dat een vlakke ruimtetijd onstabiel is en de neiging zou hebben om te kreuken, zoals een pruim bij het drogen. In wat volgt zullen we het zwaartekrachtveld als fundamenteel beschouwen.
Echt vacuüm wordt gedefinieerd als een toestand van thermisch evenwicht bij een temperatuur gelijk aan het absolute nulpunt. In kwantumzwaartekracht kan een dergelijk vacuüm alleen bestaan als de kromming onafhankelijk is van de tijd. Is dit niet het geval, dan kunnen er spontaan deeltjes in het vacuüm verschijnen (waardoor het vacuüm uiteraard niet meer vacuüm is).
Het deeltjesproductiemechanisme kan opnieuw worden verklaard in termen van het harmonische oscillatormodel. Wanneer de kromming van ruimte-tijd verandert, veranderen ook de fysische eigenschappen van de veldoscillatoren. Stel dat een conventionele oscillator zich aanvankelijk in de grondtoestand bevindt en onderhevig is aan nulfluctuaties. Als je een van zijn eigenschappen verandert, bijvoorbeeld de waarde van de massa of de stijfheid van de veer, dan moeten de nultrillingen zich aanpassen aan deze veranderingen. Daarna is er een eindige kans dat de oscillator niet in de grond wordt gedetecteerd, maar in een aangeslagen toestand. Dit fenomeen is analoog aan de toename in vibratie van een pianosnaar naarmate de spanning toeneemt; het effect staat bekend als parametrische excitatie. In de kwantumveldentheorie is de analoog van parametrische excitatie de productie van deeltjes.
Deeltjes die worden gegenereerd door veranderingen in kromming in de loop van de tijd verschijnen willekeurig. Het is onmogelijk om precies te voorspellen wanneer en waar een bepaald deeltje zal worden geboren. De statistische verdeling van de energie en het momentum van de deeltjes kan echter worden berekend. Deeltjesproductie is het meest overvloedig waar de kromming groter is en waar deze het snelst verandert. Misschien vond de meest voorkomende deeltjesproductie plaats tijdens de oerknal, toen het het belangrijkste effect zou kunnen zijn dat de dynamiek van het universum in de vroege stadia van zijn ontwikkeling bepaalt. En het lijkt helemaal niet onwaarschijnlijk dat de toen geboren deeltjes verantwoordelijk zijn voor alle materie die in het universum bestaat!
Pogingen om de productie van deeltjes in de oerknal te berekenen, werden voor het eerst ongeveer 10 jaar geleden onafhankelijk ondernomen door de Sovjetacademicus Ya. B. Zeldovich en L. Parker van de Universiteit van Wisconsin in Milwaukee. Sindsdien hebben veel wetenschappers zich met deze kwesties beziggehouden. Hoewel sommige resultaten veelbelovend lijken, is geen enkele juist. Bovendien blijft de hoofdvraag onopgelost: wat wordt er als initiële kwantumtoestand gekozen op het moment van de oerknal? Hier kunnen natuurkundigen de rol van god op zich nemen. Geen van de tot nu toe gemaakte suggesties lijkt perfect te zijn.
Een ander fenomeen in het heelal waar de kromming snel kan veranderen, is het ineenstorten van een ster tot een zwart gat. Hier leidden kwantummechanische berekeningen, ongeacht de beginvoorwaarden, tot een echte verrassing. In 1974 toonde S. Hawking van de Universiteit van Cambridge aan dat een verandering in kromming nabij een instortend zwart gat een stroom van uitgestoten deeltjes genereert. Deze stroom is uniform en gaat door lang nadat het zwarte gat geometrisch stationair is geworden. Het kan doorgaan als gevolg van tijddilatatie in een enorm zwaartekrachtveld nabij het oppervlak van de horizon van het zwart gat, wanneer het voor een externe waarnemer lijkt dat alle processen bevriezen. Deeltjes die aan de horizon worden geboren, vertragen hun reis naar de buitenwereld.
Hoewel de vertraging in de emissie betekent dat er een groot aantal deeltjes aan de horizon "zweeft" en wacht op hun "beurt" voor vertrek, is de totale energiedichtheid in dit gebied nog steeds negatief en vrij klein. De positieve energie van de deeltjes wordt grotendeels gecompenseerd door de enorme negatieve energie van het vacuüm, die zou bestaan zonder deze deeltjes (bijvoorbeeld als er altijd een zwart gat heeft bestaan en nooit is geboren tijdens een ineenstorting van de zwaartekracht).
Aangetoond kan worden dat de emissie van deeltjes niet statistisch gecorreleerd is en dat hun energiespectrum een thermisch karakter heeft. Hawking-straling is vergelijkbaar met straling van het zwarte lichaam, wat misschien de belangrijkste eigenschap is. Hierdoor kunnen we zowel temperatuur als entropie aan het zwarte gat toeschrijven. Entropie, een maat voor thermodynamische wanorde in het systeem, blijkt evenredig te zijn met het oppervlak van de horizon. Het is enorm voor een zwart gat met een massa in de orde van de massa van sterren: 19 ordes van grootte meer dan de entropie van de ster waaruit het zwarte gat is ontstaan. Aan de andere kant is de temperatuur omgekeerd evenredig met de massa en zou in ons voorbeeld 11 ordes van grootte lager moeten zijn dan de temperatuur van de voorlopercellenster.
Omdat de hoeveelheid straling die door een object wordt uitgezonden, afhangt van de temperatuur, is Hawking-straling van astrofysische zwarte gaten volledig verwaarloosbaar. Het wordt alleen belangrijk voor zwarte "minigaatjes" met een massa van minder dan 1010 gram. De enige denkbare reden voor het ontstaan van mini zwarte gaten is de enorme druk tijdens de oerknal. Het is mogelijk dat er toen hun meerlinggeboorte was. In dit geval moeten ze een belangrijke bijdrage leveren aan de entropie van het universum.
De energie van een deeltje, geboren als gevolg van een verandering in kromming in de tijd, wordt niet uit het niets gehaald. Het is afkomstig uit de ruimte-tijd zelf. Op zijn beurt werkt het deeltje in op ruimte-tijd. Er zijn verschillende pogingen gedaan om deze "terugreactie" in het geval van de oerknal te berekenen om de impact ervan op de dynamiek van het vroege universum te bepalen. In het bijzonder kan de achterreactie de oneindig hoge aanvankelijke dichtheid van materie onderdrukken (compenseren) die vereist is door de klassieke theorie van Einstein. Oneindige dichtheid is een barrière voor al het verdere onderzoek. Als het mogelijk zou zijn om het simpelweg te vervangen door een enorme dichtheid, dan zou de vraag rijzen: wat gebeurde er in het heelal vóór de oerknal?
In de jaren 60 toonden R. Penrose van Oxford University en S. Hawking aan dat Einsteins klassieke theorie onvolledig is. Het voorspelt het verschijnen in het verleden of de toekomst van oneindige dichtheden en oneindige krommingen onder een aantal fysiek aanvaardbare omstandigheden. Een theorie die leidt tot oneindige waarden van fysiek waarneembare grootheden, is niet in staat om hun gedrag voorbij deze punten te voorspellen. Omdat natuurkundigen geloven in de kenbaarheid van de natuur, zijn ze van mening dat een dergelijke theorie moet worden aangepast om een bredere klasse van verschijnselen op te nemen. Momenteel is de conservatieve opvatting dat het opnemen van kwantumeffecten het enige aanvaardbare middel is dat de theorie van Einstein van enkele beperkingen kan redden.
Berekeningen van het omgekeerde effect van de geproduceerde deeltjes op het oerknalproces werden uitgevoerd door middel van numerieke simulatie op computers. Tot dusverre hebben ze onzekere resultaten opgeleverd. Een van de moeilijkheden was het probleem om (als de initiële gegevens voor de computer) een betrouwbare waarde te kiezen van de totale energiedichtheid van de gegenereerde deeltjes en het kwantumvacuüm waarin ze worden geplaatst.
Het omgekeerde effect is vooral belangrijk bij zwarte gaten. Hawking-straling "steelt" zowel temperatuur als entropie van een zwart gat. Dienovereenkomstig neemt de massa van het zwarte gat af. De snelheid waarmee de massa afneemt is aanvankelijk klein, maar neemt sterk toe met toenemende temperatuur. Uiteindelijk wordt de snelheid van verandering zo groot dat de benaderingen die worden gebruikt om de Hawking-straling te berekenen, worden geschonden. Wat er daarna gebeurt, is onbekend. Hawking denkt dat zijn benadering kwalitatief correct zal blijven, zodat het zwarte gat in een spectaculaire uitbarsting zal ophouden te bestaan, waarna een "naakte singulariteit" in de causale structuur van ruimte-tijd zal blijven bestaan.
Elke singulariteit (al dan niet naakt) betekent dat de theorie inconsistent is. Als Hawking gelijk heeft, dan is niet alleen de theorie van Einstein onvolledig, maar ook de kwantumtheorie. Het feit is dat elk deeltje dat buiten het oppervlak van de horizon wordt geboren, overeenkomt met een ander deeltje dat binnenin wordt geboren. Deze twee deeltjes zijn gecorreleerd in de zin dat de waarnemer "waarschijnlijkheidsinterferentie" zou kunnen detecteren als hij in staat zou zijn om tegelijkertijd met beide deeltjes te communiceren. Hawking suggereerde dat interne deeltjes worden gecomprimeerd tot een oneindige dichtheid en ophouden te bestaan. Op dit punt wordt de standaard probabilistische interpretatie van de kwantummechanica geschonden: waarschijnlijkheid verdwijnt bij een botsing met oneindigheid.
Een alternatieve en even plausibele aanname is dat het raamwerk van de kwantumveldentheorie dat rond de theorie van Einstein is opgebouwd, niet toestaat dat waarschijnlijkheid en informatie verloren gaan bij de ineenstorting. Het is mogelijk dat het terugslageffect zo groot wordt dat het kan voorkomen dat oneindigheden ontstaan. De horizon is meer een wiskundige constructie dan een fysieke. Het kan al dan niet bestaan als een absolute eenzijdige barrière. Materie die instort en een zwart gat vormt, kan uiteindelijk volledig worden verklaard, deeltje voor deeltje. Het lijdt geen twijfel dat er enorme dichtheden in het zwarte gat en een laatste uitbarsting van Hawking-straling moeten zijn. De druk waaraan nucleaire deeltjes worden blootgesteld, kan ze echter veranderen in fotonen en andere massaloze deeltjes die kunnen ontsnappen,het wegnemen van de weinige resterende energie en alle kwantumcorrelaties. Deze eindproducten mogen de oorspronkelijke entropie van het zwarte gat niet met zich meedragen, aangezien alles al "ontvoerd" is door Hawking-straling.
Nu kom ik bij de moeilijkere delen van de kwantumtheorie van zwaartekracht. Wanneer kwantumeffecten, zoals het creëren van deeltjes of vacuümenergie, de kromming van de ruimtetijd omkeren, wordt de kromming zelf een kwantumobject. Zelfconsistentie van de theorie vereist kwantisering van het zwaartekrachtveld. Voor golflengten die langer zijn dan de Planck-lengte, zijn de fluctuaties van het gekwantiseerde gravitatieveld klein. Ze kunnen zorgvuldig in aanmerking worden genomen door ze te beschouwen als kleine verstoringen tegen een klassieke achtergrond. Storingen kunnen worden geanalyseerd alsof het onafhankelijke velden zijn. Ze dragen hun aandeel bij aan zowel de energie van het vacuüm als aan de vorming van deeltjes.
Bij de golflengten en energieën van Planck wordt de situatie ongelooflijk ingewikkeld. De deeltjes die verband houden met een zwak zwaartekrachtveld worden gravitonen genoemd; ze hebben geen massa en hun draaiimpulsmoment is 2ħ. Het is onwaarschijnlijk dat een enkele graviton ooit direct zal worden gedetecteerd. Gewone materie, zelfs als je een heel sterrenstelsel neemt, is bijna volledig transparant voor gravitonen. Alleen bij Planck-energieën kunnen ze merkbaar in wisselwerking staan met materie. Maar bij dergelijke energieën zijn gravitonen in staat om een Planck-kromming in de achtergrondgeometrie te genereren. Dan kan het veld waarmee gravitonen worden geassocieerd niet als zwak worden beschouwd, en onder dergelijke omstandigheden is het concept van "deeltje" slecht gedefinieerd.
Bij lange golflengten verstoort de energie die door het graviton wordt gedragen de geometrie van de achtergrond. Bij kortere golflengten vervormt het de golven die verband houden met het graviton zelf. Dit is een gevolg van de niet-lineariteit van Einsteins theorie: wanneer twee zwaartekrachtvelden over elkaar heen liggen, is het resulterende veld niet de som van de componenten. Alle niet-triviale veldtheorieën zijn niet-lineair. Om niet-lineariteiten in sommige ervan te bestrijden, is het mogelijk om methoden van opeenvolgende benaderingen toe te passen, de zogenaamde perturbatietheorie (deze naam komt van hemelmechanica). De essentie van de methode is om de initiële benadering te verfijnen door een reeks geleidelijk afnemende correcties op te bouwen. De toepassing van storingstheorie op gekwantiseerde velden leidt tot het verschijnen van oneindigheden, die kunnen worden geëlimineerd door renormalisatie.
In het geval van kwantumzwaartekracht werkt de storingstheorie niet, en wel om twee redenen. Ten eerste zijn bij Planck-energieën de opeenvolgende termen van de reeks verstoringstheorieën (d.w.z. opeenvolgende correcties) allemaal vergelijkbaar in grootte. Een reeks afbreken op een bepaald aantal termen betekent niet dat je hier een goede benadering krijgt; in plaats daarvan moet de hele oneindige reeks worden samengevat. Ten tweede kunnen individuele leden van de serie niet consequent worden hernormaliseerd. Bij elke benadering verschijnen nieuwe soorten oneindigheden, die geen analogen hebben in de gewone kwantumveldentheorie. Ze ontstaan omdat wanneer het zwaartekrachtveld wordt gekwantiseerd, de ruimte-tijd zelf wordt gekwantiseerd. In conventionele kwantumveldentheorie is ruimtetijd een vaste achtergrond. Bij kwantumzwaartekracht beïnvloedt deze achtergrond niet alleen kwantumfluctuaties, maar neemt ze er ook aan deel.
Een eng technisch antwoord op deze moeilijkheden zijn enkele pogingen geweest om bepaalde oneindige deelverzamelingen van de reeks perturbatietheorie samen te vatten. De resultaten, vooral de volledige vermindering van alle oneindigheden, zijn bemoedigend en tegelijkertijd twijfelachtig. Deze resultaten moeten met de nodige voorzichtigheid worden behandeld, aangezien er verschillende benaderingen zijn ingevoerd om ze te verkrijgen, en de reeks verstoringstheorie is nooit volledig samengevat. Toch zijn deze resultaten gebruikt om verbeterde schattingen van het terugslageffect op de oerknal te berekenen.
In een meer algemeen geval mag men verwachten dat er andere problemen verschijnen die niet kunnen worden opgelost, zelfs niet door de reeks als geheel op te tellen. De causale structuur van gekwantiseerde ruimtetijd is ongedefinieerd en onderhevig aan fluctuaties. Op Planck-afstanden wordt het onderscheid tussen het verleden en de toekomst gewist. Processen die in de klassieke theorie van Einstein verboden zijn, kunnen worden verwacht, inclusief reizen naar Planck-afstanden met superluminale snelheden. Dit kan een fenomeen zijn dat lijkt op het tunnelen in atomaire systemen, wanneer een elektron door een energiebarrière lekt die het niet kan "beklimmen". Het is volkomen onbekend hoe de waarschijnlijkheid van dergelijke processen in kwantumzwaartekracht moet worden berekend. In veel gevallen is het niet eens duidelijk hoe de vragen correct moeten worden gesteld en welke. Er zijn geen experimentenwat ons in de goede richting zou wijzen. Daarom kun je het je nog steeds veroorloven om je over te geven aan fantasievluchten.
Een van de favoriete fantasieën, waarnaar in de literatuur over kwantumzwaartekracht herhaaldelijk wordt verwezen, is de fluctuerende topologie. Het basisidee, voorgesteld door Wheeler in 1957, is als volgt. Vacuümfluctuaties van het zwaartekrachtveld, evenals fluctuaties van alle andere velden, nemen toe in grootte bij kortere golflengten. Als we de resultaten die zijn verkregen bij de benadering van het zwakke veld extrapoleren naar het gebied van Planck-dimensies, dan zullen de krommingsfluctuaties zo intens worden dat ze, naar het schijnt, gaten in de ruimte-tijd kunnen 'snijden' en de topologie ervan kunnen veranderen. Volgens Wheeler verkeert het vacuüm in een staat van eindeloze wanorde, wanneer 'handvatten' en complexere topologische formaties voortdurend worden geboren en verdwijnen. De afmetingen van deze formaties zijn in de orde van de Planck-formaties,dus die stoornis kan alleen op Planck-niveau worden "gezien". Bij een grovere resolutie lijkt de ruimtetijd vloeiend.
Figuur: 7. Het kwantumvacuüm, zoals het in 1957 werd gepresenteerd door J. Wheeler, wordt steeds chaotischer, als we het op steeds kleinere afstanden in de ruimte beschouwen. Op de schaal van atoomkernen (boven) ziet de ruimte er erg glad uit. Op afstanden van ongeveer 10-30 cm beginnen enkele onregelmatigheden te verschijnen (in het midden). Op afstanden die ongeveer 1000 keer kleiner zijn, d.w.z. op de Planck-lengteschaal (onder) fluctueren de kromming en topologie van de ruimte sterk.
Er kan echter bezwaar worden gemaakt: elke topologische verandering gaat noodzakelijkerwijs gepaard met het verschijnen van een singulariteit in de causale structuur van de ruimtetijd, zodat een dergelijke benadering voor dezelfde moeilijkheid staat als Hawking's opvattingen over het verval van zwarte gaten. Stel echter dat Wheelers standpunt correct is. Hier is een van de eerste vragen die dan gesteld zouden moeten worden: wat is de bijdrage van topologische fluctuaties aan de energie van het vacuüm en hoe beïnvloeden ze de weerstand van ruimte-tijd tegen kromming (althans in een ruwe benadering)? Tot nu toe heeft niemand deze vraag overtuigend beantwoord, voornamelijk vanwege het feit dat er geen consistent beeld van het topologische overgangsproces zelf is opgebouwd.
Om te kunnen beoordelen wat voor obstakels er in de weg staan om een dergelijk beeld te construeren, moet u het proces in Fig. 5. Links en in het midden van de figuur zijn er twee voorstellingen van dezelfde gebeurtenis: het ‘handvat’ werd zo dun dat er twee ‘uitwassen’ overbleven in een eenvoudig verbonden ruimte. In de ene afbeelding wordt de ruimte plat weergegeven, in de andere is deze gebogen.
Laten we nu eens kijken naar het omgekeerde proces: de vorming van een "handvat". Als er een beperkte kans is dat de "pen" dunner wordt en uiteindelijk gewoon verdwijnt, dan is er een beperkte kans dat deze wordt gevormd. Hier doet zich een nieuwe moeilijkheid voor. Als we onze illustratie in de omgekeerde richting in de tijd bekijken, zien we dat het twee "uitgroeiingen" weergeeft die spontaan gevormd zijn in een kwantumvacuüm. Voor een van de opvattingen lijkt het acceptabel om de twee "uitgroeiingen" te kunnen verbinden tot een "handvat". Voor een ander lijkt dit ongelooflijk te zijn. De fysieke situatie is echter in beide gevallen hetzelfde. De vorming van een "handvat" in een van de gevallen lijkt zeer waarschijnlijk, aangezien de "uitgroeiingen" dicht bij elkaar liggen. "Nabijheid" is echter geen intrinsieke eigenschap van een bepaalde locatie in de ruimte, zoals blijkt uit de twee beschouwde gevallen. Het concept van "nabijheid" vereist het bestaan van een ruimte met een hogere dimensie, waarin ruimte-tijd is ingebed. Bovendien moet de ruimte van de hoogste dimensie de juiste fysische eigenschappen hebben zodat de "uitgroeiingen" elkaar een "gevoel van verbondenheid" kunnen overbrengen. Maar dan is ruimtetijd niet langer het universum. Het universum is nu iets meer. Als we trouw blijven aan het idee dat de eigenschappen van ruimte-tijd de interne kenmerken moeten zijn, en niet het resultaat van iets van buitenaf, dan kan blijkbaar geen consistent beeld van topologische overgangen worden opgebouwd.zodat de "uitgroeiingen" aan elkaar een "gevoel van verbondenheid" konden overbrengen. Maar dan is ruimtetijd niet langer het universum. Het universum is nu iets meer. Als we trouw blijven aan het idee dat de eigenschappen van ruimte-tijd de interne kenmerken moeten zijn, en niet het resultaat van iets van buitenaf, dan kan blijkbaar geen consistent beeld van topologische overgangen worden opgebouwd.zodat de "uitgroeiingen" aan elkaar een "gevoel van verbondenheid" konden overbrengen. Maar dan is ruimtetijd niet langer het universum. Het universum is nu iets meer. Als we trouw blijven aan de opvatting dat de eigenschappen van ruimte-tijd de interne kenmerken moeten zijn en niet het resultaat van iets van buitenaf, dan kan blijkbaar geen consistent beeld van topologische overgangen worden opgebouwd.
Een andere moeilijkheid bij het beschouwen van topologische fluctuaties is dat ze de macroscopische dimensie van de ruimte kunnen schenden. Als "handvatten" spontaan kunnen worden gevormd, dan kunnen ze zelf aanleiding geven tot andere "handvatten" enzovoort tot in het oneindige. De ruimte kan zich ontvouwen tot een structuur die op Planck-niveau driedimensionaal blijft, maar op grote schaal vier of meer dimensies heeft. Een bekend voorbeeld van een dergelijk proces is de vorming van schuim, dat volledig is opgebouwd uit tweedimensionale oppervlakken, maar een driedimensionale structuur heeft (zie figuur 8).
Figuur: 8. De dimensie van ruimte is twijfelachtig vanwege het feit dat ruimte-tijd een complexe topologie kan hebben. Het afgebeelde oppervlak is tweedimensionaal, maar de topologische verbindingen zijn zodanig dat het een driedimensionaal object lijkt te zijn. Het is mogelijk dat driedimensionale ruimte, op microscopisch niveau bekeken, eigenlijk minder dimensies heeft, maar topologisch is samengesteld uit verweving.
Vanwege deze moeilijkheden hebben sommige natuurkundigen gesuggereerd dat de algemeen aanvaarde beschrijving van ruimtetijd als een glad continuüm niet langer correct is op het Planck-niveau en moet worden vervangen door iets anders. Wat deze "andere" inhoudt, is nooit duidelijk genoeg geweest. Rekening houdend met het succes van de algemeen aanvaarde beschrijving op afstanden die groter zijn dan 40 ordes van grootte (of zelfs 60 ordes van grootte, als we aannemen dat een dergelijke beschrijving alleen op Planck-afstanden onjuist wordt), kan worden aangenomen dat deze geldig is op alle schalen en dat topologische overgangen eenvoudig zijn bestaat niet. Dit zou een even redelijke veronderstelling zijn.
Zelfs als de topologie van de ruimte niet verandert, hoeft het niet eenvoudig te zijn, zelfs niet op microscopisch niveau. Het is mogelijk dat de ruimte vanaf het begin een "schuimende" structuur heeft. In dit geval kan de schijnbare afmeting verschillen van de werkelijke afmeting - meer of minder zijn dan deze.
De laatste mogelijkheid werd voorgesteld in de theorie die werd aangedragen door T. Kaluza in 1921 en O. Klein in 1926. In de Kaluza-Klein-theorie is ruimte vierdimensionaal en ruimte-tijd vijfdimensionaal. De reden dat de ruimte driedimensionaal lijkt te zijn, is omdat een van de dimensies cilindrisch is, zoals in het hierboven besproken universum. Er is echter een significant verschil met het vorige geval: de omtrek van het heelal in cilindrische richting is nu geen miljarden lichtjaren, maar meerdere (misschien 10 of 100) Planck-lengtes. Het resultaat is dat de waarnemer die de vierde ruimtelijke dimensie probeert binnen te dringen, vrijwel onmiddellijk terugkeert naar het startpunt. In feite heeft het zelfs geen zin om over zo'n poging te praten, omdat de atomen waaruit de waarnemer is gemaakt veel groter zijn dan de omtrek van een cilinder. De vierde dimensie is als zodanig eenvoudigweg niet waarneembaar.
Toch kan het zich op een andere manier manifesteren: als licht! Kaluza en Klein toonden aan dat als de vijfdimensionale ruimtetijd wordt beschreven met exact dezelfde wiskundige methoden die de vierdimensionale ruimtetijd in Einsteins theorie beschrijven, hun theorie gelijk is aan Maxwells theorie van elektromagnetisme en Einsteins theorie van zwaartekracht. De componenten van het elektromagnetische veld zijn impliciet vervat in de vergelijking voor de kromming van ruimte-tijd. Zo vonden Kaluza en Klein de eerste succesvolle verenigde veldentheorie uit; in hun theorie wordt een geometrische verklaring van elektromagnetische straling gegeven.
In zekere zin was de Kaluza-Klein-theorie te succesvol. Hoewel ze de theorieën van Maxwell en Einstein combineerde, voorspelde ze niets nieuws en kon ze daarom niet samen met andere theorieën worden getest. De reden was dat Kaluza en Klein beperkingen oplegden aan de manier waarop ruimtetijd in de extra dimensie mag buigen. Als deze beperkingen waren weggenomen, had de theorie nieuwe effecten moeten voorspellen, maar deze effecten leken niet overeen te komen met de werkelijkheid. Daarom werd deze theorie eenvoudigweg als een mooie nieuwsgierigheid beschouwd en jarenlang op de plank gelegd.
Ze werd herinnerd in de jaren 60. Het werd duidelijk dat nieuwe ijktheorieën, waarvan de populariteit toenam, geherformuleerd kunnen worden in de stijl van de Kaluza-Klein-theorie, wanneer de ruimte niet één, maar meerdere extra microscopische dimensies tegelijk heeft. De indruk was dat alle fysica kon worden verklaard in termen van geometrie. Hierdoor rees de vraag: wat gebeurt er als de beperkingen op kromming in gesloten afmetingen worden opgeheven.
Een mogelijk gevolg is de voorspelling van krommingsfluctuaties in extra dimensies; deze fluctuaties verschijnen als enorme deeltjes. Als de omtrek in aanvullende gesloten afmetingen in de orde van 10 Planck-eenheden is, dan hebben de massa's van deze deeltjes ruwweg een waarde in de orde van een tiende van de Planck-massa, d.w.z. ongeveer 10–6 g Aangezien het creëren van zulke zware deeltjes enorme energie vereist, worden ze bijna nooit geboren. Daarom maakt het voor de dagelijkse praktijk niet zoveel uit of beperkingen aan krommingsfluctuaties worden opgelegd of niet. Er blijven problemen. De belangrijkste is dat grote krommingswaarden in extra dimensies leiden tot een zeer hoge energiedichtheid in klassiek vacuüm. Waarnemingen sluiten grote waarden van de vacuümenergie uit.
Figuur: negen. Bijkomende ruimtelijke dimensies, naast de bekende drie, kunnen bestaan als ze een "gesloten" karakter hebben (verdicht). De vierde ruimtelijke dimensie kan bijvoorbeeld worden opgerold tot een cilinder met een omtrek in de orde van grootte van 10-32 cm. In de figuur is een hypothetische "gesloten" dimensie "niet opgerold" en wordt deze weergegeven door de verticale as in het ruimte-tijddiagram. Daarom heeft het pad van een deeltje een cyclische component: elke keer dat een deeltje zijn maximale coördinaatwaarde bereikt in een gesloten dimensie, bevindt het zich weer op een punt met een begincoördinaat in deze dimensie. Het waargenomen pad is de projectie van het ware pad op de ruimtetijd van macroscopische metingen. Als het pad geodetisch is, kan het lijken op het pad van een geladen deeltje dat in een elektrisch veld beweegt. Een dergelijke theorie werd in de jaren twintig voorgesteld door T. Kaluza en O. Klein, die aantoonden dat ze zowel zwaartekracht als elektromagnetisme kan verklaren. Onlangs is er een heropleving van de belangstelling voor dergelijke theorieën.
Kaluza-Klein-modellen hebben nooit veel aandacht gekregen en hun rol in de natuurkunde is nog steeds onduidelijk. In de afgelopen twee of drie jaar zijn ze echter opnieuw onder de loep genomen, dit keer in verband met een opmerkelijke generalisatie van Einsteins theorie die bekend staat als superzwaartekracht. Superzwaartekracht werd in 1976 uitgevonden door D. Friedman, P. van Nieuwenhuisen en S. Ferrara en (in een verbeterde versie) door S. Deser en B. Zumino.
Een van de inconsistenties van de Kaluza-Klein-modellen met de werkelijkheid is dat ze het bestaan van deeltjes alleen voorspellen met een gehele spin 0, ħ en 2ħ, en zelfs deze deeltjes moeten ofwel massaloos ofwel superzwaar zijn. Er was geen ruimte voor deeltjes van gewone materie, waarvan de meeste een draaiimpulsmoment hebben van ½ħ. Het bleek dat als de theorie van Einstein wordt vervangen door superzwaartekracht en ruimte-tijd wordt beschouwd als vergelijkbaar met het Kaluza-Klein-model, er een echte eenwording van alle spins wordt bereikt.
In het Kaluza-Klein "supermodel", dat nu het meest populair is, worden zeven extra dimensies toegevoegd aan de dimensie ruimte-tijd. Deze metingen hebben de topologie van een zevendimensionale bol, d.w.z. ruimte, die op zichzelf zeer interessante eigenschappen heeft. De resulterende theorie is buitengewoon complex en rijk aan inhoud; het stelt het bestaan van enorme deeltjesmultipletten vast. De massa van deze deeltjes is nog steeds nul of extreem groot. Het is mogelijk dat het "breken" van de symmetrie van de zevendimensionale bol zal leiden tot het verschijnen van meer realistische massawaarden voor sommige deeltjes. De grote energie van het klassieke vacuüm heeft het ook overleefd, maar kan worden verminderd met de negatieve energie van het kwantumvacuüm. Het valt nog te bezien of deze strategie om de theorie te corrigeren zal slagen. In werkelijkheid zal het veel werk vergenom precies alle gevolgen van de theorie te achterhalen.
Als Einstein kon zien wat er met zijn theorie is gebeurd, zou hij zeker verrast en, naar ik aanneem, opgetogen zijn. Hij zou blij zijn dat natuurkundigen, na zoveel jaren van twijfel, eindelijk tot zijn standpunt zijn gekomen dat wiskundig mooie theorieën studie verdienen, ook al is op dit moment nog niet duidelijk of ze iets met de fysieke werkelijkheid te maken hebben. Hij zou blij zijn als natuurkundigen zouden durven hopen dat verenigde veldentheorieën haalbaar zouden zijn. En hij zou vooral blij zijn te ontdekken dat zijn oude droom - om alle fysica uit te leggen in termen van geometrie, werkelijkheid lijkt te worden.
Maar meestal zou hij verrast zijn. Het verbaast me dat de kwantumtheorie nog steeds aan de basis staat van alles wat intact en onwankelbaar is, veldtheorie verrijkt en op zijn beurt verrijkt. Einstein heeft nooit geloofd dat de kwantumtheorie de ultieme waarheid uitdrukt. Hij kwam zelf niet in het reine met het indeterminisme dat door de theorie van de kwanta werd geïntroduceerd, en geloofde dat op een dag een niet-lineaire veldtheorie deze zou vervangen. Het tegenovergestelde gebeurde. De kwantumtheorie absorbeerde en veranderde de theorie van Einstein.
Opmerkingen van de vertaler:
1.
$ / hbar ~ $ - Dirac-constante (Planck-constante gedeeld door $ 2 / pi ~ $)
$ / c ~ $ - lichtsnelheid
$ / G ~ $ - gravitatieconstante
$ / k ~ $ - Boltzmann-constante
$ / frac 1 {4 / pi / varepsilon_0} ~ $ is de evenredigheidscoëfficiënt in de wet van Coulomb, waarbij $ / varepsilon_0 ~ $ de elektrische constante is.
Alle andere Planck-units zijn hiervan afgeleid, bijvoorbeeld:
Planck massa $ M_ {Pl} = / sqrt { frac { hbar c} G} cong 2 {,} 17644 (11) maal 10 ^ {- 8} ~ $ kilogram;
Planck lengte $ l_ {Pl} = / frac / hbar {M_ {Pl} c} = / sqrt { frac { hbar G} {c ^ 3}} cong 1 {,} 616252 (81) maal 10 ^ {-35} ~ $ meter;
Planck tijd $ t_ {Pl} = / frac {l_ {Pl}} c = / sqrt { frac { hbar G} {c ^ 5}} cong 5 {,} 39124 (27) tijden 10 ^ {- 44} ~ $ seconden;
Planck-temperatuur $ T_ {Pl} = / frac {M_ {Pl} c ^ 2} k = / sqrt { frac { hbar c ^ 5} {k ^ 2 G}} cong 1 {,} 416785 (71) tijden 10 ^ {32} ~ $ Kelvin
Planck charge $ q_ {Pl} = / sqrt {4 / pi / varepsilon_0 / hbar c} = / sqrt {2 ch / varepsilon_0} = / frac {e} { sqrt { alpha}} cong 1 {,} 8755459 / times 10 ^ {- 18} ~ $ hanger;
terug naar tekst
2.
De term "pen" die in de Russische wetenschappelijke literatuur wordt gebruikt, is ontleend aan de topologie.
Door Bryce S. De Witt