Of je nu aan het timen bent om te kijken hoe snel je je koffiezetapparaat kunt vullen of gewoon 's ochtends je stappen naar de bushalte telt, er is iets met de eentonigheid van het dagelijks leven waardoor we proberen er een spel van te maken. De inwoners van de Pruisische stad Konigsberg uit de achttiende eeuw (nu, zoals u weet, is dit Kaliningrad) waren dezelfde als wij allemaal. Het is alleen dat het spel dat ze speelden met zeven bruggen in hun stad ooit de interesse wekte van een van de grootste wiskundigen in de menselijke geschiedenis.
Konigsberg werd gebouwd aan de oevers van de rivier de Pregel (Pregolya), die de stad in vier afzonderlijke woonwijken verdeelde. Mensen verhuisden van het ene gebied naar het andere via zeven verschillende bruggen. Volgens de legende was het een populair tijdverdrijf tijdens zondagswandelingen om te proberen de hele stad over te steken om elke brug maar één keer over te steken. Niemand heeft bedacht hoe dit moet, maar dit betekent niet dat het probleem geen oplossing heeft. Ze moesten gewoon naar de juiste expert om hem te leren kennen.
In 1735 schreef de burgemeester van de stad Danzig (nu het Poolse Gdansk), 120 kilometer ten westen van Konigsberg, Karl Leonard Gottlieb Ehler, aan Leonard Euler met een brief waarin hij om hulp vroeg bij het oplossen van dit probleem namens een plaatselijke professor in de wiskunde genaamd Heinrich. Kuehn. Zelfs toen was Euler een beroemde en zeer succesvolle wiskundige - hij publiceerde zijn eerste boek binnen een jaar na deze brief, en in zijn hele leven schreef hij meer dan 500 boeken en artikelen.
Daarom is het niet verwonderlijk dat Euler aanvankelijk dacht dat het onder zijn waardigheid was om met dit probleem om te gaan, en als antwoord schreef: 'Dus, ziet u, geachte heer, dit type oplossing heeft praktisch niets te maken met wiskunde, en ik begrijp niet waarom u met dergelijke zaken te maken heeft. een verzoek aan een wiskundige en niet aan iemand anders, aangezien de beslissing alleen gebaseerd is op gezond verstand en niet afhankelijk is van een van de bekende wiskundige principes."
Uiteindelijk slaagden Ehler en Kühn er echter in Euler te overtuigen, en hij realiseerde zich dat dit een volledig nieuw type wiskunde was - de "geometrie van posities", tegenwoordig bekend als topologie. In de topologie doet de exacte vorm of locatie van een object er niet toe. Er is zelfs een oude grap dat een topoloog het verschil niet kan zien tussen een donut en een koffiekopje, aangezien beide items precies één gat hebben. Tot dan toe werd er alleen over dit volledig nieuwe gebied van de wiskunde geschreven, maar niemand begreep nog welke problemen het zou kunnen oplossen. De zeven Konigsbergbruggen waren een uitstekende experimentele bevestiging van de nieuwe theorie, aangezien het probleem geen metingen of nauwkeurige berekeningen vereiste. U kunt van een complexe stadsplattegrond een eenvoudige en begrijpelijke grafiek (diagram) maken zonder belangrijke informatie te verliezen.
Hoewel men in de verleiding zou kunnen komen dit probleem op te lossen door alle mogelijke routes door de stad in kaart te brengen, realiseerde Euler zich onmiddellijk dat deze strategie te lang zou duren en niet zou werken bij andere soortgelijke problemen (wat als er in een andere stad bijvoorbeeld twaalf bruggen?). In plaats daarvan besloot hij zich tijdelijk af te leiden van de bruggen en markeerde hij de landgebieden met de letters A, B, C en D. Zo kon hij nu de reis over de brug van gebied A naar gebied B omschrijven als AB, en de reis van gebied A door gebied B gebied D als ABD. Belangrijk hierbij is dat het aantal letters in de routebeschrijving altijd één meer zal zijn dan het aantal overgestoken bruggen. Route AB kruist dus één brug en route ABD kruist twee bruggen, enzovoort. Euler realiseerde zich dat aangezien er zeven bruggen in Konigsberg zijn, om ze allemaal over te steken,de route moet uit acht letters bestaan, wat betekent dat voor de oplossing van het probleem precies acht letters nodig zijn.
Toen bedacht hij een algemenere regel met een nog eenvoudiger schema. Als je maar twee landsecties had, A en B, en één keer de brug zou oversteken, dan zou sectie A kunnen zijn waar de reis begon of eindigde, maar je zou maar één keer in sectie A zijn. Als je eenmaal bruggen a, b en c bent overgestoken, ben je precies twee keer op sectie A. Dit leidde tot een handige regel: als je een even aantal bruggen hebt die naar een stuk land leiden, moet je er één bij dat aantal optellen en het totaal vervolgens door twee delen om erachter te komen hoe vaak dat gedeelte tijdens je reis moet worden gebruikt. (in dit voorbeeld, door één toe te voegen aan het aantal bruggen, dat wil zeggen, bij 3, krijgen we vier, en door vier door twee te delen, krijgen we twee,dat wil zeggen, het is precies twee keer tijdens de reis dat sectie A) wordt doorkruist.
Promotie video:
Dit resultaat bracht Euler terug naar zijn oorspronkelijke probleem. Er zijn vijf bruggen die naar sectie A leiden, dus de achtletterige oplossing waarnaar hij op zoek is, moet drie keer worden overgestoken. Secties B, C en D hebben twee bruggen die ernaartoe leiden, dus ze moeten elk twee keer oversteken. Maar 3 + 2 + 2 + 2 is 9, niet 8, hoewel je volgens de voorwaarde slechts 8 secties moet doorlopen en 7 bruggen moet oversteken. Dit betekent dat het onmogelijk is om met elke brug precies één keer door de hele stad Königsberg te gaan. Met andere woorden, in dit geval heeft het probleem geen oplossing.
Maar zoals elke echte wiskundige stopte Euler daar niet. Hij bleef werken en creëerde een meer algemene regel voor andere steden met een ander aantal bruggen. Als de stad een oneven aantal bruggen heeft, is er een eenvoudige manier om erachter te komen of je zo'n reis kunt maken of niet: als de som van het aantal keren dat elke letter die een stuk land aangeeft, één meer is dan het aantal bruggen (zoals bijvoorbeeld in de achtletterige oplossing, ongeveer eerder genoemd), is zo'n reis mogelijk. Als de som groter is dan dit aantal, is het onmogelijk.
Hoe zit het met een even aantal bruggen? In dit geval hangt het allemaal af van waar u moet beginnen. Als je begint bij sectie A en over twee bruggen reist, verschijnt A twee keer in je oplossing. Als je aan de andere kant begint, verschijnt A maar één keer. Als er vier bruggen zijn, verschijnt A driemaal als dit gedeelte het startpunt was, of tweemaal als dat niet het geval was. In algemene termen betekent dit dat als de reis niet begint vanaf sectie A, deze tweemaal zo vaak moet worden overgestoken als het aantal bruggen (vier gedeeld door twee levert twee op). Als de reis begint vanaf sectie A, moet deze elkaar nog een keer kruisen.
Het genie van Eulers oplossing ligt niet eens in het antwoord, maar in de methode die hij toepaste. Het was een van de eerste toepassingen van grafentheorie, ook wel bekend als netwerktheorie, een zeer gewild gebied in de wiskunde in de wereld van vandaag vol met transport-, sociale en elektronische netwerken. Wat Königsberg betreft, de stad kreeg uiteindelijk een andere brug, waardoor de beslissing van Euler controversieel was, en toen verwoestten Britse troepen het grootste deel van de stad tijdens de Tweede Wereldoorlog. Tegenwoordig hebben zowel de stad als de rivier nieuwe namen, maar het oude probleem leeft in een geheel nieuw gebied van wiskunde.
Igor Abramov
