Paradoxen zijn overal te vinden, van ecologie tot geometrie en van logica tot chemie. Zelfs de computer waarop u het artikel leest, zit vol paradoxen. Hier zijn tien verklaringen voor enkele nogal fascinerende paradoxen. Sommige zijn zo vreemd dat we gewoon niet volledig kunnen begrijpen wat het punt is.
1. De Banach-Tarski-paradox
Stel je voor dat je een bal in je handen hebt. Stel je nu voor dat je deze bal in stukken begon te scheuren, en de stukken kunnen elke gewenste vorm hebben. Leg vervolgens de stukjes bij elkaar zodat je twee ballen krijgt in plaats van één. Hoe groot zullen deze ballen worden vergeleken met de originele bal?
Volgens de verzamelingenleer zullen de twee resulterende ballen dezelfde grootte en vorm hebben als de originele bal. Als we er bovendien rekening mee houden dat de ballen in dit geval verschillende volumes hebben, kan elk van de ballen worden getransformeerd in overeenstemming met de andere. Hierdoor kunnen we concluderen dat een erwt kan worden verdeeld in bolletjes ter grootte van de zon.
De truc van de paradox is dat je de ballen in stukken van elke vorm kunt breken. In de praktijk is dit niet mogelijk - de structuur van het materiaal en uiteindelijk de grootte van de atomen leggen enkele beperkingen op.
Om de bal echt te kunnen breken zoals jij dat wilt, moet deze een oneindig aantal beschikbare nul-dimensionale punten bevatten. Dan zal de bal van dergelijke punten oneindig dicht zijn, en als je hem breekt, kunnen de vormen van de stukken zo complex blijken te zijn dat ze geen bepaald volume zullen hebben. En je kunt deze stukken, die elk een oneindig aantal punten bevatten, verzamelen tot een nieuwe bal van elke grootte. De nieuwe bal zal nog steeds bestaan uit oneindige punten, en beide ballen zullen even oneindig dicht zijn.
Promotie video:
Als je het idee in praktijk probeert te brengen, werkt niets. Maar alles komt goed uit als je met wiskundige sferen werkt - oneindig deelbare getallenreeksen in een driedimensionale ruimte. De opgeloste paradox wordt de Banach-Tarski-stelling genoemd en speelt een grote rol in de wiskundige verzamelingenleer.
2. De Peto-paradox
Het is duidelijk dat walvissen veel groter zijn dan wij, wat betekent dat ze veel meer cellen in hun lichaam hebben. En elke cel in het lichaam kan theoretisch kwaadaardig worden. Daarom hebben walvissen veel meer kans om kanker te krijgen dan mensen, toch?
Zo niet. De Peto Paradox, genoemd naar professor Richard Peto uit Oxford, stelt dat er geen verband bestaat tussen diergrootte en kanker. Mensen en walvissen hebben een vergelijkbare kans om kanker op te lopen, maar sommige soorten kleine muizen zijn veel waarschijnlijker.
Sommige biologen zijn van mening dat het gebrek aan correlatie in de Peto-paradox verklaard kan worden door het feit dat grotere dieren beter bestand zijn tegen tumoren: het mechanisme werkt zo dat celmutatie tijdens het delingsproces wordt voorkomen.
3. Het probleem van het heden
Om iets fysieks te laten bestaan, moet het enige tijd in onze wereld aanwezig zijn. Er kan geen object zijn zonder lengte, breedte en hoogte, en er kan geen object zijn zonder 'duur' - een 'instant' object, dat wil zeggen een object dat tenminste een bepaalde tijd niet bestaat, bestaat helemaal niet.
Volgens het universele nihilisme nemen verleden en toekomst in het heden geen tijd in beslag. Bovendien is het onmogelijk om de duur te kwantificeren die we "huidige tijd" noemen: elke hoeveelheid tijd die u "huidige tijd" noemt, kan in delen worden verdeeld - verleden, heden en toekomst.
Als het heden bijvoorbeeld een seconde duurt, dan kan dit tweede deel in drie delen worden verdeeld: het eerste deel is het verleden, het tweede - het heden, het derde - de toekomst. De derde van een seconde, die we nu het heden noemen, kan ook in drie delen worden verdeeld. Waarschijnlijk heb je het idee al - je kunt zo eindeloos doorgaan.
Het heden bestaat dus niet echt omdat het niet in de tijd blijft bestaan. Universeel nihilisme gebruikt dit argument om te bewijzen dat er helemaal niets bestaat.
4. De Moravec-paradox
Bij het oplossen van problemen die een doordachte redenering vereisen, hebben mensen het moeilijk. Aan de andere kant zijn basismotorische en sensorische functies zoals lopen helemaal niet moeilijk.
Maar als we het over computers hebben, is het tegenovergestelde waar: het is heel gemakkelijk voor computers om de moeilijkste logische problemen op te lossen, zoals het ontwikkelen van een schaakstrategie, maar het is veel moeilijker om een computer zo te programmeren dat hij kan lopen of menselijke spraak kan reproduceren. Dit onderscheid tussen natuurlijke en kunstmatige intelligentie staat bekend als de Moravec-paradox.
Hans Moravek, een onderzoeker bij de afdeling Robotica aan de Carnegie Mellon University, legt deze observatie uit door het idee van reverse engineering van onze eigen hersenen. Reverse engineering is het moeilijkst voor taken die mensen onbewust uitvoeren, zoals motorische functies.
Omdat abstract denken minder dan 100.000 jaar geleden een onderdeel werd van menselijk gedrag, is ons vermogen om abstracte problemen op te lossen bewust. Het is dus veel gemakkelijker voor ons om technologie te creëren die dit gedrag nabootst. Aan de andere kant begrijpen we acties als lopen of praten niet, dus het is moeilijker voor ons om kunstmatige intelligentie hetzelfde te laten doen.
5. De wet van Benford
Hoe groot is de kans dat het willekeurige nummer begint met het nummer "1"? Of van het nummer "3"? Of met "7"? Als je een beetje bekend bent met de kansrekening, kun je aannemen dat de kans een op negen is, of ongeveer 11%.
Als je naar de reële getallen kijkt, zul je merken dat "9" veel minder vaak voorkomt dan 11% van de tijd. Er zijn ook veel minder cijfers dan verwacht, beginnend met "8", maar maar liefst 30% van de cijfers die beginnen met het cijfer "1". Dit paradoxale beeld manifesteert zich in allerlei reële gevallen, van populatiegrootte tot aandelenkoersen en rivierlengtes.
Natuurkundige Frank Benford merkte dit fenomeen voor het eerst op in 1938. Hij ontdekte dat de frequentie van het voorkomen van een cijfer als het eerste daalt naarmate het cijfer toeneemt van één naar negen. Dat wil zeggen, "1" verschijnt als het eerste cijfer in ongeveer 30,1% van de gevallen, "2" verschijnt in ongeveer 17,6% van de gevallen, "3" verschijnt in ongeveer 12,5%, enzovoort totdat "9" verschijnt in als eerste cijfer in slechts 4,6% van de gevallen.
Om dit te begrijpen, stel je voor dat je loten opeenvolgend nummert. Als je tickets hebt genummerd van één tot negen, is er een kans van 11,1% dat een willekeurig nummer de eerste is. Als je ticket # 10 toevoegt, neemt de kans op een willekeurig getal dat begint met "1" toe tot 18,2%. Je voegt tickets # 11 tot # 19 toe, en de kans dat het ticketnummer begint met "1" blijft groeien en bereikt een maximum van 58%. Voeg nu ticketnummer 20 toe en ga verder met het nummeren van de tickets. De kans dat een nummer begint bij "2" gaat omhoog, en de kans dat het begint bij "1" neemt langzaam af.
De wet van Benford is niet van toepassing op alle distributies van nummers. Getallenreeksen met een beperkt bereik (menselijke lengte of gewicht) vallen bijvoorbeeld niet onder de wet. Het werkt ook niet met sets van slechts één of twee bestellingen.
De wet omvat echter veel soorten gegevens. Als gevolg hiervan kunnen autoriteiten de wet gebruiken om fraude op te sporen: wanneer de verstrekte informatie niet in overeenstemming is met de wet van Benford, kunnen de autoriteiten concluderen dat iemand de gegevens heeft verzonnen.
6. C-paradox
Genen bevatten alle informatie die nodig is om een organisme te creëren en te overleven. Het behoeft geen betoog dat complexe organismen de meest complexe genomen moeten hebben, maar dit is niet waar.
Eencellige amoeben hebben genomen 100 keer groter dan mensen, in feite hebben ze enkele van de grootste genomen die we kennen. En bij soorten die erg op elkaar lijken, kan het genoom radicaal verschillen. Deze eigenaardigheid staat bekend als de C-paradox.
Een interessante afweging van de C-paradox is dat het genoom mogelijk groter is dan nodig. Als alle genomen in menselijk DNA zouden worden gebruikt, zou het aantal mutaties per generatie ongelooflijk hoog zijn.
De genomen van veel complexe dieren, zoals mensen en primaten, bevatten DNA dat niets codeert. Deze enorme hoeveelheid ongebruikt DNA, die sterk varieert van schepsel tot schepsel, lijkt onafhankelijk van wat dan ook, waardoor de C-paradox ontstaat.
7. Een onsterfelijke mier aan een touw
Stel je een mier voor die langs een rubberen touw van een meter lang kruipt met een snelheid van een centimeter per seconde. Stel je ook voor dat het touw elke seconde een kilometer rekt. Zal de mier ooit het einde halen?
Het lijkt logisch dat een normale mier hier niet toe in staat is, omdat de snelheid van zijn beweging veel lager is dan de snelheid waarmee het touw uitrekt. De mier zal echter uiteindelijk het andere einde bereiken.
Voordat de mier zelfs maar begint te bewegen, ligt 100% van het touw ervoor. Een seconde later werd het touw veel groter, maar de mier heeft ook enige afstand afgelegd, en als je in percentages meetelt, is de afstand die hij moet afleggen afgenomen - het is al minder dan 100%, zij het niet veel.
Hoewel het touw constant wordt uitgerekt, wordt de kleine afstand die de mier aflegt ook groter. En terwijl het totale touw met een constante snelheid langer wordt, wordt het pad van de mier elke seconde iets korter. De mier blijft ook de hele tijd met constante snelheid vooruit bewegen. Dus met elke seconde neemt de afstand die hij al heeft afgelegd toe, en de afstand die hij moet afleggen. In procenten natuurlijk.
Er is één voorwaarde voor het probleem om een oplossing te hebben: de mier moet onsterfelijk zijn. Dus de mier zal het einde bereiken in 2,8 × 1043,429 seconden, wat iets langer is dan het universum bestaat.
8. De paradox van ecologisch evenwicht
Het predator-prooimodel is een vergelijking die de werkelijke ecologische situatie beschrijft. Het model kan bijvoorbeeld bepalen hoeveel het aantal vossen en konijnen in het bos zal veranderen. Laten we zeggen dat het gras dat konijnen eten in het bos groeit. Aangenomen kan worden dat een dergelijke uitkomst gunstig is voor konijnen, omdat ze zich met een overvloed aan gras goed zullen voortplanten en hun aantal zullen vergroten.
De ecologische balansparadox stelt dat dit niet zo is: in eerste instantie zal het aantal konijnen juist toenemen, maar een toename van de konijnenpopulatie in een gesloten omgeving (bos) zal leiden tot een toename van de vossenpopulatie. Dan zal het aantal roofdieren zo sterk toenemen dat ze eerst alle prooien zullen vernietigen en dan zullen ze zelf uitsterven.
In de praktijk werkt deze paradox niet voor de meeste diersoorten - al was het maar omdat ze niet in een gesloten omgeving leven, dus de dierenpopulaties zijn stabiel. Bovendien kunnen dieren evolueren: onder nieuwe omstandigheden krijgen prooien bijvoorbeeld nieuwe afweermechanismen.
9. De newt-paradox
Verzamel een groep vrienden en bekijk deze video samen. Als u klaar bent, laat dan iedereen zijn mening geven of het geluid tijdens alle vier de tonen toeneemt of afneemt. U zult verrast zijn hoe verschillend de antwoorden zullen zijn.
Om deze paradox te begrijpen, moet u het een en ander weten over muzieknoten. Elke noot heeft een bepaalde toonhoogte, die bepaalt of we een hoog of laag geluid horen. De noot van het volgende hogere octaaf klinkt twee keer zo hoog als de noot van het vorige octaaf. En elk octaaf kan worden onderverdeeld in twee gelijke tritonus-intervallen.
In de video scheidt de salamander elk paar geluiden. In elk paar is één geluid een mix van dezelfde noten uit verschillende octaven - bijvoorbeeld een combinatie van twee noten C, waarbij de ene hoger klinkt dan de andere. Als het geluid in een tritonus van de ene noot naar de andere overgaat (bijvoorbeeld een Gis tussen twee C's), kun je de noot redelijkerwijs interpreteren als hoger of lager dan de vorige.
Een andere paradoxale eigenschap van salamanders is het gevoel dat het geluid steeds lager wordt, hoewel de toonhoogte niet verandert. In onze video kun je het effect wel tien minuten bekijken.
10. Het Mpemba-effect
Voordat je twee glazen water drinkt, in alles precies hetzelfde behalve één: de watertemperatuur in het linker glas is hoger dan in het rechter glas. Zet beide glazen in de vriezer. In welk glas zal het water sneller bevriezen? U kunt dat rechts beslissen, waarin het water aanvankelijk kouder was, maar warm water zal sneller bevriezen dan water op kamertemperatuur.
Dit vreemde effect is genoemd naar een Tanzaniaanse student die het in 1986 waarnam toen hij melk invroor om ijs te maken. Enkele van de grootste denkers - Aristoteles, Francis Bacon en René Descartes - hebben dit fenomeen al eerder opgemerkt, maar hebben het niet kunnen verklaren. Aristoteles, bijvoorbeeld, veronderstelde dat een kwaliteit wordt verbeterd in een omgeving die tegengesteld is aan deze kwaliteit.
Het Mpemba-effect is mogelijk door verschillende factoren. Er kan minder water in een glas heet water zitten, omdat een deel ervan zal verdampen, waardoor er minder water zou moeten bevriezen. Bovendien bevat heet water minder gas, waardoor convectiestromen gemakkelijker zullen optreden in dergelijk water, waardoor het gemakkelijker zal bevriezen.
Een andere theorie is dat de chemische bindingen die watermoleculen bij elkaar houden, verzwakt zijn. Een watermolecuul bestaat uit twee waterstofatomen die zijn gebonden aan één zuurstofatoom. Wanneer het water opwarmt, bewegen de moleculen zich iets van elkaar af, wordt de band tussen hen zwakker en verliezen de moleculen een beetje energie - hierdoor kan heet water sneller afkoelen dan koud water.
