Bij het beschrijven van kwantumverschijnselen heeft de theorie tot dusver het experiment overtroffen dat het niet mogelijk is te onderscheiden waar de natuurkunde ophoudt en de wiskunde op dit gebied begint. De correspondent van RIA Novosti sprak met de deelnemers van de internationale wetenschappelijke school van het Joint Institute for Nuclear Research (JINR) in Dubna over wat voor soort wiskunde nodig is voor de kwantumfysica en welke problemen worden opgelost door vertegenwoordigers van de twee meest rigoureuze wetenschappen.
De school "Statistical Sums and Automorphic Forms" trok ongeveer tachtig jonge onderzoekers en docenten van over de hele wereld, waaronder Hermann Nicolai, directeur van het Albert Einstein Instituut (Duitsland).
De organisatoren van het Laboratorium voor Spiegel Symmetrie en Automorfe Vormen van de Faculteit Wiskunde van de Hogere School voor Economie benadrukken dat vooraanstaande wetenschappelijke scholen actiever zijn geworden in Rusland en de voorhoede van het onderzoek op veel gebieden vertegenwoordigen.
Het succes van onze wiskundigen hangt nauw samen met de prestaties van theoretische fysici die op zoek zijn naar nieuwe manifestaties van de kwantumfysica. Dit is letterlijk de andere wereld, waarvan het bestaan buiten de realiteit van Newton en Einstein wordt verondersteld. Om consequent te beschrijven dat ze verder gaan dan de wetten van de klassieke fysica, hebben wetenschappers in de jaren zeventig de snaartheorie uitgevonden. Ze beweert dat het universum niet kan worden beoordeeld in termen van puntdeeltjes, maar met behulp van kwantumstrings.
De begrippen "punt", "lijn", "vlak", bekend bij elke scholier, vervagen in de kwantumwereld, de grenzen verdwijnen en de snaartheorie zelf krijgt een zeer complexe interne structuur. Om zulke ongewone objecten te begrijpen, is iets speciaals vereist. Namelijk spiegelsymmetrie, die begin jaren negentig werd gesuggereerd door snaarfysici. Dit is een goed voorbeeld van hoe nieuwe wiskundige structuren voortkomen uit fysieke intuïtie.
In de gewone wereld verschijnt dergelijke symmetrie bijvoorbeeld wanneer we onze weerspiegeling in een spiegel zien. In de kwantumwereld is dit een onmetelijk complexere, abstracte visie die uitlegt hoe twee verschillend ogende theorieën eigenlijk één systeem van elementaire deeltjes beschrijven op verschillende niveaus van interactie in multidimensionale ruimte-tijd.
Het wiskundige programma voor het bestuderen van het door natuurkundigen ontdekte effect - de hypothese van homologische spiegelsymmetrie - werd in 1994 voorgesteld door wiskundige Maxim Kontsevich. Vier jaar later won hij de Fields Prize, de Nobelprijs voor de wiskundige wereld.
In Rusland werd de Amerikaanse wiskundige van Bulgaarse afkomst Lyudmila Katsarkova, afgestudeerd aan de Faculteit Mechanica en Wiskunde van de Lomonosov Moscow State University, uitgenodigd om de richting van spiegelsymmetrie te ontwikkelen. Zijn project en de oprichting van een laboratorium op de HSE eind 2016 werden ondersteund door de Russische overheid in het kader van het megasubsidieprogramma. Als een van de co-auteurs van Kontsevich trok Katsarkov hem naar zijn werk.
Promotie video:
Van intuïtie tot bewijs
De meeste docenten van de school werken in dit dynamische veld met betrekking tot ruimtetijdgeometrie en duale veld- en snaartheorieën, die direct of indirect helpen bij het oplossen van de puzzel van de kwantumwereld. Een van de belangrijkste onderzoeksobjecten voor hen zijn zeer grote systemen met een oneindig aantal deeltjes. Om deze systemen in een toestand van thermodynamisch evenwicht te beschrijven, berekenen natuurkundigen hoeveelheden die partitiefuncties worden genoemd.
Spiegelsymmetrie van variëteiten, Nekrasovs instanton-partitiefuncties en andere concepten die in de snaartheorie en kwantumveldentheorie werden geïntroduceerd, bleken volledig nieuwe objecten voor wiskundigen te zijn, die ze met belangstelling begonnen te analyseren. Het bleek bijvoorbeeld dat het handig is om staatssommen te beschrijven met behulp van automorfe vormen - een speciale klasse van functies die al lang goed bestudeerd is in de getaltheorie.
De begrippen "punt", "lijn", "vlak", bekend bij elke scholier, vervagen in de kwantumwereld, de grenzen verdwijnen en de snaartheorie zelf krijgt een zeer complexe interne structuur. Om zulke ongewone objecten te begrijpen, is iets speciaals vereist. Namelijk spiegelsymmetrie, die begin jaren negentig werd gesuggereerd door snaarfysici. Dit is een goed voorbeeld van hoe nieuwe wiskundige structuren voortkomen uit fysieke intuïtie.
In de gewone wereld verschijnt dergelijke symmetrie bijvoorbeeld wanneer we onze weerspiegeling in een spiegel zien. In de kwantumwereld is dit een onmetelijk complexere, abstracte visie die uitlegt hoe twee verschillend ogende theorieën eigenlijk één systeem van elementaire deeltjes beschrijven op verschillende niveaus van interactie in multidimensionale ruimte-tijd.
Het wiskundige programma voor het bestuderen van het door natuurkundigen ontdekte effect - de hypothese van homologische spiegelsymmetrie - werd in 1994 voorgesteld door wiskundige Maxim Kontsevich. Vier jaar later won hij de Fields Prize, de Nobelprijs voor de wiskundige wereld.
In Rusland werd de Amerikaanse wiskundige van Bulgaarse afkomst Lyudmila Katsarkova, afgestudeerd aan de Faculteit Mechanica en Wiskunde van de Lomonosov Moscow State University, uitgenodigd om de richting van spiegelsymmetrie te ontwikkelen. Zijn project en de oprichting van een laboratorium op de HSE eind 2016 werden ondersteund door de Russische overheid in het kader van het megasubsidieprogramma. Als een van de co-auteurs van Kontsevich trok Katsarkov hem naar zijn werk.
Van intuïtie tot bewijs
De meeste docenten van de school werken in dit dynamische veld met betrekking tot ruimtetijdgeometrie en duale veld- en snaartheorieën, die direct of indirect helpen bij het oplossen van de puzzel van de kwantumwereld. Een van de belangrijkste onderzoeksobjecten voor hen zijn zeer grote systemen met een oneindig aantal deeltjes. Om deze systemen in een toestand van thermodynamisch evenwicht te beschrijven, berekenen natuurkundigen hoeveelheden die partitiefuncties worden genoemd.
Spiegelsymmetrie van variëteiten, Nekrasovs instanton-partitiefuncties en andere concepten die in de snaartheorie en kwantumveldentheorie werden geïntroduceerd, bleken volledig nieuwe objecten voor wiskundigen te zijn, die ze met belangstelling begonnen te analyseren. Het bleek bijvoorbeeld dat het handig is om staatssommen te beschrijven met behulp van automorfe vormen - een speciale klasse van functies die al lang goed bestudeerd is in de getaltheorie.
Het idee van de kunstenaar van spiegelsymmetrie. Illustratie door RIA Novosti. Alina Polyanina
Er zijn veel voorbeelden van het tegenovergestelde effect van wiskunde op de theoretische natuurkunde.
“Ik was bezig met het creëren van een theorie voor een nieuwe klasse van speciale functies die 'elliptische hypergeometrische integralen' worden genoemd. Toen bleek dat deze objecten door natuurkundigen werden geëist als statistische sommen van een speciaal type”, zegt de wiskundige natuurkundige Vyacheslav Spiridonov van het Laboratorium voor Theoretische Fysica van JINR.
Spiridonov introduceerde zijn integralen in 2000, en acht jaar later kwamen twee fysici uit Cambridge tot dezelfde integralen, waarbij ze superconformele indices (of supersymmetrische partitiefuncties) berekenden in het kader van Seibergs dualiteitstheorie.
“Superconformele indices zijn een erg handig concept voor het beschrijven van elektromagnetische dualiteiten, waarmee ze het fenomeen veralgemenen dat zich voor het eerst manifesteerde in de vergelijkingen van Maxwell (de aanwezigheid van onderling complementaire fysische eigenschappen in één fenomeen. - Vert.). Met behulp van de geconstrueerde wiskundige theorie hebben we nieuwe dualiteiten voorspeld die natuurkundigen hebben gemist. Natuurkundigen drukken ideeën uit, krijgen voorlopige resultaten en wiskundigen bouwen een absolute, systematische analyse: ze geven definities, formuleren stellingen, bewijzen, zonder enige onderbreking in de beschrijving van het fenomeen toe te staan. Hoeveel zijn er nog? Wat hebben de natuurkundigen gemist? Wiskundigen beantwoorden deze vragen. Natuurkundigen zijn geïnteresseerd in alle soorten objecten die door wiskundigen worden geclassificeerd”, zegt Spiridonov.
Op zoek naar kwantumzwaartekracht en supersymmetrie
“Ik wil de aard van kwantumzwaartekracht en de fysica van zwarte gaten begrijpen, als de snaartheorie correct is om de natuur te beschrijven. Dit is mijn motivatie. Om dit te doen, moet u fysieke grootheden berekenen en deze met experimenten vergelijken. Maar feit is dat dit zeer complexe berekeningen zijn, er zijn veel wiskundige problemen”, zegt Pierre Vanhove van het Instituut voor Theoretische Fysica (Saclay, Frankrijk), een geassocieerd lid van het laboratorium aan de HSE.
Een natuurkundige die wil begrijpen wat er voor de oerknal is gebeurd, om de configuratie van een zwart gat te bestuderen, wordt gedwongen om te gaan met ruimte, die tot een punt wordt samengedrukt, waardoor de geometrie sterk verandert. De relativiteitstheorie kan deze objecten niet verklaren, evenals andere niet-klassieke verschijnselen - donkere materie, donkere energie. Wetenschappers beoordelen hun bestaan aan de hand van indirecte tekens, maar het is nog niet mogelijk geweest om de manifestaties van nieuwe fysica in een experiment vast te leggen, inclusief tekenen van kwantumzwaartekracht - een theorie die de algemene relativiteitstheorie en de kwantummechanica zou combineren. De Sovjetfysicus Matvey Bronstein stond halverwege de jaren dertig aan de oorsprong.
Overigens hebben wetenschappers klassieke (vanuit het oogpunt van de theorie van Einstein) zwaartekrachtsgolven pas in 2015 in een experiment opgenomen. Om dit te doen, moesten ze de LIGO-detector aanzienlijk upgraden. Om een idee te krijgen van de kwantum-aard van de zwaartekracht, heb je een nog grotere instrumentnauwkeurigheid nodig, die niet haalbaar is op het huidige niveau van technologische ontwikkeling.
“Op dit moment geven LIGO-metingen geen toegang tot deze nieuwe fysica, het kost tijd om daar te komen. Waarschijnlijk tijdrovend. We moeten nieuwe methoden en wiskundige hulpmiddelen bedenken. Voorheen waren er alleen versnellers tot onze beschikking om naar nieuwe fysica te zoeken, waarvan de krachtigste de LHC is, nu is er een andere weg open: de studie van zwaartekrachtgolven”, legt Vankhov uit.
Om de eigenaardigheden van de waargenomen wereld te verklaren, hebben wetenschappers bijvoorbeeld de supersymmetriehypothese geïntroduceerd. Volgens haar moeten de elementaire deeltjes die we in experimenten waarnemen, een tweeling hebben in een 'ander' deel van onze wereld. Een van de verwachte manifestaties van deze tweelingen is dat de lichtste van hen donkere materie vormt, dat wil zeggen dat het om ons heen leeft, maar niet toegankelijk is voor observatie.
“Om supersymmetrie te zien, moet je de structuur van deeltjes beter begrijpen, en dit vereist nog meer versneller-energieën. Als we bijvoorbeeld bij botsingen van protonen de geboorte zien van supersymmetrische partners van gewone deeltjes, dan bestaat wat we doen echt. Op dit moment, bij CERN, botst de versneller deeltjes met maximale energie, maar supersymmetrie is nog niet ontdekt. De limiet van zijn manifestatie - Planck-energie - ligt buiten ons bereik”, zegt Ilmar Gahramanov, hoofd van de afdeling Mathematische Fysica aan de Mimar Sinan State University of Fine Arts (Istanbul, Turkije), afgestudeerd aan MISiS.
Er moet echter supersymmetrie bestaan, gelooft Gahramanov, aangezien zijn idee, zijn wiskunde, "heel mooi" is.
“Formules worden vereenvoudigd, sommige problemen verdwijnen, veel verschijnselen kunnen door deze theorie worden verklaard. We willen geloven dat het bestaat, aangezien de ideeën van supersymmetrie ons in staat stellen om interessante resultaten te verkrijgen voor andere theorieën die experimenteel testbaar zijn. Dat wil zeggen, de methoden, technologie en wiskunde die erin ontstaan, worden overgebracht naar andere gebieden”, zegt de wetenschapper.
Pure wiskunde
Een voorbeeld van zo'n gebied, dat zich ontwikkelt dankzij de problemen die in de snaartheorie worden geformuleerd, is de maneschijntheorie.
"Moonshine" in het Engels betekent slaapwandelen en waanzin ", zegt John Duncan van Emory University (VS).
Voor alle duidelijkheid: tijdens zijn toespraak laat hij het publiek een foto zien van de bloedrode maan boven de Akropolis, gemaakt tijdens de supermaan van 31 januari. Duncan volgde zijn opleiding in Nieuw-Zeeland en kwam vervolgens naar de Verenigde Staten om te promoveren. Nadat hij daar Igor Frenkel, een voormalige Sovjetwiskundige, had ontmoet, besloot hij de Munshine-theorie over te nemen (vertaald in het Russisch als 'onzin-theorie'), die bruggen bouwde tussen het 'monster' - de grootste eindige uitzonderlijke groep symmetrieën - en andere wiskundige objecten: automorfische vormen, algebraïsche curven en vertex algebra's.
“Uit de snaartheorie kwamen zeer diepe wiskundige ideeën die de geometrie veranderden, de theorie van Lie-algebra's, de theorie van automorfe vormen. Het filosofische concept begon te veranderen: wat is ruimte, wat is diversiteit. Nieuwe soorten geometrieën, nieuwe invarianten verschenen. Theoretische fysica verrijkt wiskunde met nieuwe ideeën. We beginnen eraan te werken en geven ze terug aan natuurkundigen. In feite wordt de wiskunde nu herbouwd, zoals het al gebeurde in de jaren 20-30 van de twintigste eeuw na de ontwikkeling van de kwantummechanica, toen duidelijk werd dat er andere structuren in de wiskunde zijn die nog niet eerder zijn gezien ”, zegt Valery Gritsenko, professor aan de Universiteit van Lille (Frankrijk).) en HSE.
Gritsenko houdt zich bezig met pure wiskunde, maar zijn resultaten zijn in trek bij natuurkundigen. Een van zijn grootste prestaties, die hij samen met de wiskundige Vyacheslav Nikulin heeft behaald, is de classificatie van oneindig-dimensionale automorfe hyperbolische Kac-Moody-algebra's, die toepassing heeft gevonden in de snaartheorie. Het is aan de beschrijving van een speciale hyperbolische Kats-Moody-algebra van het type E10, die beweert de eenheid te zijn van alle fysieke symmetrieën van de natuur, dat Herman Nicolai zijn lezing wijdde.
Ondanks de afwezigheid van experimentele manifestaties van snaartheorie, supersymmetrie, kwantumzwaartekracht, negeren wetenschappers deze concepten niet alleen, maar blijven ze ze juist actief ontwikkelen. Dus "Geen meetkundige, laat hem niet binnen!" - het motto van Plato's Academie, twee en een half millennium geleden geformuleerd, is het meest relevant in onze tijd voor theoretische fysica.
Tatiana Pichugina
