Nog een reeks paradoxen en gedachte-experimenten
Het kost je veel minder tijd om deze collectie te lezen dan om na te denken over de paradoxen die erin worden gepresenteerd. Sommige problemen zijn alleen op het eerste gezicht tegenstrijdig, andere lijken onoplosbaar, zelfs na honderden jaren intensief mentaal werk eraan door de grootste wiskundigen, filosofen en economen. Wie weet ben jij het die in staat zal zijn om een oplossing te formuleren voor een van deze problemen, die, zoals ze zeggen, leerboek zullen worden en in alle leerboeken zullen worden opgenomen.
1. De paradox van waarde
Het fenomeen, ook bekend als de diamant- en waterparadox of de Smith-paradox (genoemd naar Adam Smith, de klassieke econoom van wie wordt aangenomen dat hij de eerste is die deze paradox formuleert), is dat hoewel water als hulpbron veel nuttiger is dan stukjes kristal. koolstof, dat we diamanten noemen, de prijs van de laatste op de internationale markt is onvergelijkbaar hoger dan de kosten van water.
Adam Smith
Vanuit het oogpunt van overleven heeft de mensheid water echt veel meer nodig dan diamanten, maar de reserves zijn natuurlijk meer dan die van diamanten, dus experts zeggen dat er niets vreemds aan het prijsverschil zit - we hebben het tenslotte over de kosten per eenheid van elke grondstof, en deze wordt grotendeels hierdoor bepaald een factor als marginaal nut.
Als een hulpbron voortdurend wordt gebruikt, daalt het marginale nut ervan en als gevolg daarvan de kosten onvermijdelijk - dit patroon werd in de 19e eeuw ontdekt door de Pruisische econoom Hermann Heinrich Gossen. In eenvoudige bewoordingen, als iemand consequent drie glazen water krijgt aangeboden, zal hij de eerste drinken, het water uit de tweede wassen en de derde zal naar de vloer gaan.
Promotie video:
Het grootste deel van de mensheid heeft geen acute behoefte aan water - om er genoeg van te krijgen, hoef je alleen maar de waterkraan open te draaien, maar niet iedereen heeft diamanten, daarom zijn ze zo duur.
2. De paradox van de vermoorde grootvader
Deze paradox werd in 1943 gesuggereerd door de Franse sciencefictionschrijver Rene Barzhavel in zijn boek The Careless Traveler (origineel Le Voyageur Imprudent).
René Barzhavel
Stel dat je erin geslaagd bent om een tijdmachine uit te vinden, en je gaat ermee naar het verleden. Wat gebeurt er als je je grootvader daar ontmoet en hem vermoordt voordat hij je grootmoeder ontmoette? Waarschijnlijk zal niet iedereen dit bloeddorstige scenario leuk vinden, dus, laten we zeggen, je voorkomt de ontmoeting op een andere manier, neem hem bijvoorbeeld mee naar het andere uiteinde van de wereld, waar hij nooit zal weten van het bestaan ervan, de paradox verdwijnt hier niet uit.
Als de ontmoeting niet plaatsvindt, zal je moeder of vader niet geboren worden, je niet kunnen verwekken, en dienovereenkomstig zul je geen tijdmachine uitvinden en terug in de tijd gaan, zodat grootvader vrijelijk met grootmoeder kan trouwen, ze zullen een van je ouders hebben, enzovoort. - de paradox is duidelijk.
Het verhaal van de grootvader die in het verleden werd vermoord, wordt door wetenschappers vaak aangehaald als bewijs van de fundamentele onmogelijkheid van tijdreizen, maar sommige experts zeggen dat de paradox onder bepaalde omstandigheden behoorlijk oplosbaar is. Door bijvoorbeeld zijn grootvader te vermoorden, zal de tijdreiziger een alternatieve versie van de werkelijkheid creëren waarin hij nooit zal worden geboren.
Bovendien suggereren velen dat iemand, zelfs als hij in het verleden is gevallen, hem niet zal kunnen beïnvloeden, omdat dit zal leiden tot een verandering in de toekomst, waarvan hij deel uitmaakt. Een poging om een grootvader te vermoorden is bijvoorbeeld opzettelijk gedoemd te mislukken - als de kleinzoon bestaat, heeft zijn grootvader op de een of andere manier de aanslag overleefd.
3. Schip Theseus
De naam van de paradox werd gegeven door een van de Griekse mythen die de heldendaden beschrijft van de legendarische Theseus, een van de Atheense koningen. Volgens de legende hielden de Atheners het schip waarop Theseus vanaf het eiland Kreta naar Athene terugkeerde honderden jaren lang vast. Natuurlijk raakte het schip geleidelijk in verval en vervingen de timmerlieden de verrotte planken door nieuwe, waardoor er geen stuk oud hout meer in bleef. De knapste koppen van de wereld, waaronder vooraanstaande filosofen als Thomas Hobbes en John Locke, hebben eeuwenlang nagedacht over de vraag of deze ons konden worden beschouwd als op dit schip.
De essentie van de paradox is dus als volgt: als je alle delen van het object door nieuwe vervangt, kan het dan hetzelfde object zijn? Bovendien rijst de vraag: als u exact hetzelfde object uit de oude onderdelen assembleert, welk van de twee zal dan "hetzelfde" zijn? Vertegenwoordigers van verschillende filosofische scholen gaven direct tegengestelde antwoorden op deze vragen, maar er bestaan nog steeds enkele tegenstrijdigheden in mogelijke oplossingen voor de paradox van Theseus.
Trouwens, als we bedenken dat de cellen van ons lichaam elke zeven jaar bijna volledig worden vernieuwd, kunnen we dan aannemen dat we in de spiegel dezelfde persoon zien als zeven jaar geleden?
4. Galileo's paradox
Het door Galileo Galilei ontdekte fenomeen toont de tegenstrijdige eigenschappen van oneindige verzamelingen aan. Een korte formulering van de paradox is als volgt: er zijn evenveel natuurlijke getallen als vierkanten, dat wil zeggen, het aantal elementen van een oneindige verzameling 1, 2, 3, 4 … is gelijk aan het aantal elementen van een oneindige verzameling 1, 4, 9, 16 …
Op het eerste gezicht is er hier geen tegenstrijdigheid, maar dezelfde Galileo in zijn werk "Two Sciences" beweert: sommige getallen zijn exacte kwadraten (dat wil zeggen, je kunt er een hele vierkantswortel uit halen), terwijl andere daarom geen exacte kwadraten zijn samen met gewone getallen er moet meer dan één exact vierkant zijn. Ondertussen is er eerder in "Sciences" een postulaat dat er evenveel vierkanten van natuurlijke getallen zijn als er zelf natuurlijke getallen zijn, en deze twee uitspraken zijn direct tegengesteld aan elkaar.
Galileo geloofde zelf dat de paradox alleen kan worden opgelost met betrekking tot eindige verzamelingen, maar Georg Cantor, een van de Duitse wiskundigen uit de 19e eeuw, ontwikkelde zijn verzamelingenleer, volgens welke Galileo's tweede postulaat (ongeveer hetzelfde aantal elementen) ook geldt voor oneindige verzamelingen. Hiervoor introduceerde Cantor het concept van kardinaliteit, dat samenviel in de berekeningen voor beide oneindige verzamelingen.
5. De paradox van soberheid
De bekendste formulering van een merkwaardig economisch fenomeen, beschreven door Waddill Ketchings en William Foster, is: "Hoe meer we uitstellen voor een regenachtige dag, hoe eerder het zal komen." Om de essentie van de tegenstrijdigheid in dit fenomeen te begrijpen, een kleine economische theorie.
William Foster
Als tijdens een economische neergang een groot deel van de bevolking begint te sparen, neemt de totale vraag naar goederen af, wat op zijn beurt leidt tot een daling van de inkomsten en als gevolg daarvan tot een daling van het totale spaarniveau en een vermindering van de besparingen. Simpel gezegd is er een soort vicieuze cirkel waar consumenten minder geld uitgeven, maar daardoor hun welzijn verslechteren.
In sommige opzichten is de paradox van soberheid vergelijkbaar met het probleem in de speltheorie dat het prisoner's dilemma wordt genoemd: acties die gunstig zijn voor elke deelnemer in een situatie afzonderlijk, zijn schadelijk voor hen als geheel.
6. De Pinokkio-paradox
Dit is een deelverzameling van het filosofische probleem dat bekend staat als de leugenaarsparadox. Deze paradox is eenvoudig van vorm, maar zeker niet van inhoud. Het kan worden uitgedrukt in drie woorden: "Deze uitspraak is een leugen", of zelfs in twee woorden: "Ik lieg." In de versie met Pinocchio wordt het probleem als volgt geformuleerd: "Mijn neus groeit nu."
Ik denk dat je de tegenstrijdigheid in deze verklaring begrijpt, maar voor het geval dat, laten we er alles overheen zetten: als de zin correct is, dan groeit de neus echt, maar dit betekent dat op dit moment het geesteskind van paus Carlo liegt, wat niet zo kan zijn. zoals we al hebben ontdekt dat de bewering waar is. Dit betekent dat de neus niet mag groeien, maar als dit niet overeenkomt met de werkelijkheid, is de bewering nog steeds waar, en dit geeft op zijn beurt weer aan dat Pinocchio liegt … En zo verder - de keten van elkaar uitsluitende oorzaken en gevolgen kan voor onbepaalde tijd worden voortgezet.
De paradox van de leugenaar toont de tegenstelling tussen de uitspraak in de spreektaal en de formele logica. Vanuit het standpunt van de klassieke logica is het probleem onoplosbaar, dus de uitspraak "Ik lieg" wordt helemaal niet als logisch beschouwd.
7. Russells paradox
De paradox, die zijn ontdekker, de beroemde Britse filosoof en wiskundige Bertrand Russell, strikt genomen niets anders noemde dan de kapperparadox, kan worden beschouwd als een van de vormen van de paradox van de leugenaar.
Stel dat je, als je langs een kapper loopt, er een advertentie op ziet staan: “Scheer je jezelf? Zo niet, dan bent u van harte welkom om te scheren! Ik scheer iedereen die zichzelf niet scheert, en niemand anders! " Het is normaal om de vraag te stellen: hoe gaat een kapper om met zijn eigen stoppels als hij alleen degenen scheert die zich niet alleen scheren? Als hij zelf zijn baard niet scheert, is dit in strijd met zijn opschepperige uitspraak: "Ik scheer iedereen die zich niet scheert."
Het is natuurlijk het gemakkelijkst om aan te nemen dat de bekrompen kapper simpelweg niet nadacht over de tegenstrijdigheid op zijn bord en dit probleem vergat, maar het is veel interessanter om de essentie ervan te begrijpen, hoewel dit een korte duik in de wiskundige verzamelingenleer vereist.
Russells paradox ziet er als volgt uit: “Laat K de verzameling zijn van alle sets die zichzelf niet als een juist element bevatten. Bevat K zichzelf als zijn eigen element? Zo ja, dan weerlegt dit de bewering dat de sets in zijn samenstelling "zichzelf niet als een juist element bevatten", zo niet, dan is er een tegenspraak met het feit dat K de set is van alle sets die zichzelf niet als een juist element bevatten, en daarom moet K alle mogelijke elementen, inclusief jezelf."
Het probleem ontstaat doordat Russell in zijn redenering het concept van "de verzameling van alle verzamelingen" gebruikte, dat op zichzelf nogal tegenstrijdig is en zich liet leiden door de wetten van de klassieke logica, die niet in alle gevallen van toepassing zijn (zie paragraaf zes).
De ontdekking van de kapperparadox veroorzaakte verhitte debatten in verschillende wetenschappelijke kringen, die tot op de dag van vandaag niet zijn verdwenen. Om de verzamelingenleer te 'redden', hebben wiskundigen verschillende axiomasystemen ontwikkeld, maar er is geen bewijs van de consistentie van deze systemen, en volgens sommige wetenschappers kan dat ook niet.
8. De verjaardagsparadox
De kern van het probleem is dit: als er een groep van 23 of meer mensen is, is de kans dat twee van hen dezelfde verjaardag hebben (dag en maand) groter dan 50%. Voor groepen vanaf 60 personen is de kans meer dan 99%, maar bereikt deze alleen 100% als er minimaal 367 mensen in de groep zitten (rekening houdend met schrikkeljaren). Dit blijkt uit het Dirichlet-principe, genoemd naar zijn ontdekker, de Duitse wiskundige Peter Gustav Dirichlet.
Peter Gustav Dirichl
Strikt genomen, vanuit wetenschappelijk oogpunt, is deze bewering niet in tegenspraak met de logica en daarom geen paradox, maar het demonstreert perfect het verschil tussen de resultaten van een intuïtieve benadering en wiskundige berekeningen, omdat op het eerste gezicht, voor zo'n kleine groep, de kans op toeval sterk overschat lijkt.
Als we elk lid van de groep afzonderlijk beschouwen en de kans schatten dat hun verjaardag samenvalt met die van iemand anders, is de kans voor elke persoon ongeveer 0,27%, dus de totale kans voor alle leden van de groep zou ongeveer 6,3% moeten zijn (23 / 365). Maar dit is fundamenteel verkeerd, omdat het aantal mogelijke opties voor het kiezen van bepaalde paren van 23 personen veel hoger is dan het aantal leden en (23 * 22) / 2 = 253 is, gebaseerd op de formule voor het berekenen van het zogenaamde aantal combinaties uit een gegeven set. We gaan niet in op combinatoriek, u kunt op uw gemak de juistheid van deze berekeningen controleren.
Voor 253 varianten van koppels is de kans dat de geboortemaand en geboortedatum van de deelnemers van één van hen hetzelfde zullen zijn, zoals je waarschijnlijk al vermoedde, veel meer dan 6,3%.
9. Het probleem van kip en eieren
Zeker, ieder van jullie werd minstens één keer in je leven de vraag gesteld: "Wat verscheen er eerst - een kip of een ei?" Ervaren in de zoölogie kennen het antwoord: vogels werden geboren uit eieren lang voordat de orde van kippen onder hen verscheen. Het is vermeldenswaard dat het in de klassieke formulering alleen om een vogel en een ei gaat, maar het biedt ook een gemakkelijke oplossing: dinosauriërs verschenen immers voor vogels, en ze vermenigvuldigden zich ook door eieren te leggen.
Als we al deze subtiliteiten in aanmerking nemen, kunnen we het probleem als volgt formuleren: wat eerder verscheen - het eerste dier dat eieren legt, of zijn eigen ei, omdat ergens ergens een vertegenwoordiger van een nieuwe soort moest uitkomen.
Het belangrijkste probleem is om een oorzakelijk verband vast te stellen tussen de verschijnselen van vaag volume. Voor een vollediger begrip hiervan, bekijk de Principles of Fuzzy Logic - generalisaties van klassieke logica en verzamelingenleer.
Simpel gezegd, het is een feit dat dieren in de loop van de evolutie talloze tussenstadia hebben doorlopen - dit geldt ook voor fokmethoden. In verschillende evolutionaire stadia hebben ze verschillende objecten gelegd die niet ondubbelzinnig als eieren kunnen worden geïdentificeerd, maar er wel een aantal overeenkomsten mee hebben.
Waarschijnlijk is er geen objectieve oplossing voor dit probleem, hoewel bijvoorbeeld de Britse filosoof Herbert Spencer deze optie voorstelde: "De kip is gewoon een manier waarop het ene ei een ander ei produceert."
10. Cel verdwijnen
In tegenstelling tot de meeste andere paradoxen van de collectie, bevat dit speelse "probleem" geen tegenstrijdigheden, maar dient het om observatie te trainen en herinnert het je aan de basiswetten van de meetkunde.
Als u bekend bent met dergelijke taken, kunt u het bekijken van de video overslaan - deze bevat de oplossing. We raden iedereen aan om niet te klimmen, zoals ze zeggen, 'naar het einde van het leerboek', maar erover na te denken: de gebieden van de veelkleurige figuren zijn absoluut gelijk, maar wanneer ze worden herschikt, 'verdwijnt' een van de cellen (of wordt 'overbodig') - afhankelijk van welke variant van de positie van de figuren beschouwd als initieel). Hoe is dit mogelijk?
Tip: in eerste instantie zit er een kleine truc in het probleem, die ervoor zorgt dat het ‘paradoxaal’ is, en als het je lukt om het te vinden, valt alles onmiddellijk op zijn plaats, hoewel de cel nog steeds ‘verdwijnt’.
