Ik was een eigenzinnig kind dat opgroeide met literatuur en wiskunde en wetenschap behandelde alsof ze de pest konden opvangen. Daarom is het nogal vreemd dat ik daardoor een persoon werd die zich dagelijks bezighoudt met drievoudige integralen, Fourier-transformaties en de parel van de wiskunde, de Euler-vergelijking. Het is moeilijk te geloven dat ik van een persoon met een letterlijk aangeboren fobie voor wiskunde, een ingenieursprofessor werd.
Op een dag vroeg een van mijn studenten me hoe ik het deed: hoe ik mijn brein veranderde. Ik wilde antwoorden: "Verdomme, het was buitengewoon moeilijk!" Ik kon tenslotte geen wiskunde en wetenschappen doen op de lagere school, de middelbare school en de middelbare school. Eigenlijk ben ik pas met wiskundelessen begonnen toen ik op 26-jarige leeftijd uit het leger werd ontslagen. Als er een voorbeeld was van het potentieel voor flexibiliteit in het volwassen brein, zou ik Model # 1 worden.
Als volwassene wiskunde en wetenschappen studeren, opende voor mij de deur naar een wereld van vele mogelijkheden - techniek. Door hard te werken op volwassen leeftijd, heb ik door mijn hersenverandering uit de eerste hand de neuroplasticiteit kunnen zien die ten grondslag ligt aan het leren van volwassenen. Gelukkig hielp de voorbereiding op een doctoraal proefschrift in systems engineering, het koppelen van een enorm beeld van verschillende STEM-disciplines (wetenschap, technologie, engineering, wiskunde), en vervolgens aan mijn verdere onderzoek en werk, dat gericht was op de structuur van het menselijk denken, me geholpen om het laatste te realiseren. ontdekkingen in neurowetenschappen en cognitieve psychologie gerelateerd aan het leerproces.
Sinds ik mijn Ph. D. heb, zijn duizenden studenten door mijn handen gegaan, studenten op de basisschool en de middelbare school geloofden dat de heilige talisman van het begrijpen van wiskunde een actieve discussie is. Er wordt aangenomen dat als je aan anderen kunt uitleggen wat je hebt geleerd, bijvoorbeeld door een tekening te maken, je het begrijpt.
Japan is een bewonderenswaardig en navolgbaar voorbeeld geworden van deze actieve leermethoden van "begrijpen". Over de keerzijde van dit concept wordt echter niet vaak gesproken: Japan werd ook de geboorteplaats van Kumons methode om wiskunde te onderwijzen, die gebaseerd is op onthouden, herhalen, proppen en werken aan hoe het kind de stof beheerst. Dit intense buitenschoolse programma (en soortgelijke programma's) werd gretig ontvangen door ouders in Japan en de rest van de wereld, die het interactieve onderwijs van hun kinderen aanvullen met meer oefening, herhaling en, ja, verfijnd proppen om hen de vrijheid te geven het onderwerp onder de knie te krijgen.
In de Verenigde Staten vervangt de nadruk op begrip soms een andere oudere methode die door wetenschappers wordt gebruikt (en gebruikt): om wiskunde en wetenschap te studeren, moet je werken met het natuurlijke proces van de hersenen.
De laatste golf van onderwijshervormingen in de wiskunde gaat over het leerplichtonderwijs: het is een poging om in heel Amerika sterke, uniforme normen vast te stellen, hoewel critici erop wijzen dat de normen niet kunnen worden vergeleken met de best presterende landen. De normen bieden, althans oppervlakkig, een redelijk perspectief. Ze gaan ervan uit dat studenten in wiskunde evenveel conceptuele kennis, vloeiend probleemoplossend vermogen en het vermogen om deze toe te passen moeten hebben.
De vangst zit hem natuurlijk in het voor elkaar krijgen van dingen. In het huidige onderwijsklimaat worden onthouden en herhalen in STEM-disciplines (versus het leren van een taal of muziek) vaak gezien als een vernederende tijdverspilling door zowel studenten als docenten. Veel docenten hebben lang geleerd dat conceptuele kennis essentieel is in STEM-disciplines. Het is inderdaad gemakkelijker voor leerkrachten om leerlingen te betrekken bij een discussie over een wiskundeonderwerp (en als het goed wordt gedaan, ontwikkelt het een beter begrip) dan dat het vervelend is om huiswerk te evalueren dat is gedaan. De implicatie is dat vloeiendheid in vaardigheden en het vermogen om ze toe te passen zich in gelijke mate moeten ontwikkelen als conceptuele kennis, en dit gebeurt zeer vaak niet. De verspreiding van conceptuele kennis heerst opperste, vooral tijdens kostbare klassentijden.
Promotie video:
De moeilijkheid bij het focussen op begrip is dat studenten in wiskunde en exacte vakken vaak een belangrijk punt kunnen vatten, maar deze kennis kan snel wegglippen zonder in de praktijk en herhaling te worden vastgesteld. Tot overmaat van ramp denken studenten vaak dat ze iets begrijpen, terwijl ze dat in feite niet begrijpen. Door het belang van begrip te benadrukken, kunnen leerkrachten hun leerlingen onbewust naar een mislukking duwen, terwijl kinderen zich overgeven aan de illusie van kennis. Zoals een technische student me onlangs vertelde (een examen niet halen): “Ik begrijp gewoon niet hoe ik zo'n slecht resultaat kan behalen. Ik begreep alles toen je het in de klas uitlegde. Mijn student had misschien gedacht dat hij het onderwerp toen begreep, en misschien ook wel, maar hij heeft deze kennis nooit in de praktijk gebracht om het echt te leren. Hij heeft geen beslissingsvaardigheid of vaardigheid ontwikkeld om toe te passen wat hij denkt dat hij al heeft begrepen.
Er is een interessante relatie tussen wiskunde en natuurwetenschappen studeren en het beheersen van een sport. Wanneer je leert slaan met een golfclub, perfectioneer je deze beweging door middel van constante herhaling gedurende meerdere jaren. Je lichaam weet wat te doen als je er alleen maar aan denkt (het hele blok), in plaats van alle moeilijke stappen te onthouden die nodig zijn om de bal te raken.
Op dezelfde manier hoef je, als je eenmaal iets over wiskunde en wetenschap begrijpt, het jezelf niet elke keer opnieuw uit te leggen als je een onderwerp tegenkomt. Je hoeft geen 25 knikkers bij je te hebben en voortdurend rijen van vijf stukken te leggen om te begrijpen dat 5 × 5 = 25. Op een gegeven moment ken je het gewoon uit je hoofd. U herinnert zich het idee dat u alleen de exponenten hoeft op te tellen (kleine getallen bovenaan), wanneer u hetzelfde getal in verschillende graden vermenigvuldigt (104 × 105 = 109). Als u deze procedure vaak uitvoert en veel verschillende soorten problemen oplost, zult u merken dat u zowel de redenen als de acties achter de procedures goed begrijpt. Het begrip wordt vergroot door het feit dat je hersenen betekenisschema's hebben ontwikkeld. De constante focus op het begrijpen zelf is eigenlijk een belemmering.
Ik heb dit alles over wiskunde en het leerproces geleerd, niet in de klas K-12, maar door mijn eigen ervaring, als kind, toen ik opgroeide met het lezen van Madeleine Langele en Dostojevski, die taal studeerden aan een van 's werelds toonaangevende taaluniversiteiten, en toen plotseling een professor in engineering werd.
In mijn jeugd, met een talent voor talen en zonder genoeg geld of vaardigheden, kon ik het me niet veroorloven om naar de universiteit te gaan (toen was er geen sprake van studieleningen). Dus vanaf de middelbare school ging ik rechtstreeks naar het leger. Ik vond het leuk om op de middelbare school vreemde talen te studeren, en het leger voelde als een plek waar mensen geld kregen om vreemde talen te leren, zelfs als ze studeerden aan het prestigieuze Militaire Instituut voor Vreemde Talen, een plek waar het leren van talen uitgroeide tot een wetenschap. Ik koos Russisch omdat het heel anders was dan Engels, maar het was niet zo moeilijk dat ik het eeuwenlang moest studeren en het moest leren spreken op het niveau van een vierjarige. Bovendien wenkte het IJzeren Gordijn met zijn mysterie: plotseling zal ik mijn kennis van de Russische taal kunnen gebruiken en een kijkje kunnen nemen,wat zit erachter?
Nadat ik in het leger had gediend, begon ik te vertalen voor de Russen die aan Sovjet-trawlers in de Beringzee werkten. Werken voor Russen was leuk en opwindend, en het was een ietwat glamoureuze baan voor migranten. Je gaat tijdens het visseizoen naar de zee, verdient fatsoenlijk geld, wordt onderweg constant dronken, keert dan aan het einde van het seizoen terug naar de haven en hoopt volgend jaar weer aan het werk te worden geroepen. Voor iemand die Russisch sprak, was er maar één alternatief voor werk - werken voor de National Security Agency (mijn vrienden in het leger stelden me deze optie constant voor, maar het was niet voor mij).
Ik begon te begrijpen dat kennis van een vreemde taal op zich een nuttige aangelegenheid is, maar met een beperkt potentieel en een beperkt aantal kansen. Niemand sneed mijn telefoon af, niemand had mijn kennis van verbuigingen in het Russisch nodig. Tenzij ik zou wennen aan zeeziekte en incidentele ondervoeding op stinkende trawlers in het midden van de Beringzee. De hele tijd herinnerde ik me de ingenieurs die aan West Point studeerden, met wie ik in het leger werkte. Hun wiskundige en wetenschappelijke benadering van het oplossen van problemen was duidelijk nuttig in de echte wereld, veel nuttiger dan mijn tegenslagen met wiskunde in mijn jeugd me hadden kunnen voorstellen.
Dus op 26-jarige leeftijd, toen ik het leger verliet en op zoek was naar nieuwe kansen, realiseerde ik me: als ik echt iets nieuws wil proberen, waarom zou ik dan niet beginnen met wat een hele wereld aan nieuwe perspectieven voor mij zou kunnen openen? Iets als techniek? Dit betekende dat ik zou proberen een heel andere taal te leren - de taal van de calculus.
Met mijn gebrekkige kennis van zelfs de eenvoudigste wiskunde, begonnen mijn inspanningen na het leger met herstellende lessen in algebra en trigonometrie. Dit was ver onder het nulniveau van de meeste studenten. Soms leek het me een belachelijke onderneming om te proberen mijn brein te herprogrammeren, vooral toen ik naar de jonge gezichten van mijn jongere klasgenoten keek en besefte dat ze hun moeilijke lessen in wiskunde en natuurwetenschappen al hadden opgegeven, en ik besloot ze meteen te ontmoeten. Maar in mijn geval, in mijn ervaring met het beheersen van de Russische taal als volwassene, vermoedde (of hoopte ik gewoon) dat er iets zou zijn in de aspecten van het leren van een vreemde taal dat ik zou kunnen gebruiken bij het beheersen van wiskunde en wetenschappen.
Toen ik Russisch leerde, concentreerde ik me niet alleen op het begrijpen van de taal, maar ook op het vloeiend spreken ervan. Gratis gebruik van het hele systeem (in dit geval de taal) vereist een goede kennis, die uitsluitend wordt bereikt door herhaalde en gevarieerde interactie met de elementen ervan. Waar mijn klasgenoten tevreden waren met een eenvoudig begrip van gesproken of geschreven Russisch, probeerde ik een innerlijke, diepe verbinding te ontwikkelen met de woorden en de structuur van de taal. Ik was niet tevreden met het kennen van de betekenis van het woord "begrijpen". Ik gebruikte het werkwoord in de praktijk: ik vervoegde het constant in verschillende tijden, gebruikte het in zinnen en ten slotte begreep ik niet alleen wanneer ik deze vorm van het werkwoord moest gebruiken, maar ook wanneer ik het niet moest doen. Ik heb getraind met de uitdaging om al deze aspecten en variaties snel op te roepen. Als je de taal niet vloeiend spreekt en iemand snel tegen je praat, zoals bij een normaal gesprek (wat altijd vreselijk snel klinkt als je een vreemde taal leert), heb je geen idee wat je bent in feite zeggen ze, hoewel je technisch gezien elk woord afzonderlijk en de structuur van de zinnen begrijpt. Natuurlijk kunt u zelf niet snel genoeg spreken om moedertaalsprekers met plezier naar u te laten luisteren.
Met deze aanpak (gericht op vloeiend spreken in plaats van alleen begrijpen), liep ik voor op iedereen in de klas. Ik besefte het toen nog niet, maar deze benadering van het leren van talen gaf me een intuïtief begrip van de fundamentele basis van leren en ontwikkelde competentie - de vorming van blokken.
Blokvorming werd oorspronkelijk ontwikkeld in het revolutionaire werk van Herbert Simon, waar hij schaken analyseerde: blokken werden gezien als verschillende neurale equivalenten van verschillende schaakschema's. Geleidelijk aan realiseerden neurowetenschappers zich dat specialisten zoals schaakgrootmeesters dit bereikten door duizenden blokken kennis over hun vakgebied op te slaan in het langetermijngeheugen. Grootmeesters kunnen bijvoorbeeld tienduizenden verschillende schaakpatronen onthouden. Ongeacht de discipline kunnen connaisseurs in hun bewustzijn een of meer goed gelaste, geassembleerde neurale subroutines ontwaken, met behulp waarvan ze analyseren en reageren wanneer ze worden geconfronteerd met de behoefte om nieuwe dingen te leren. Het niveau van echt begrip, het vermogen om het in nieuwe situaties te gebruiken, verschijnt alleen met die duidelijkheid, kennisniveau,die alleen herhaling, memorisatie en oefening kan bieden.
Zoals studies uitgevoerd onder schakers, ambulanceartsen en jachtpiloten hebben aangetoond dat op momenten van de grootste stress een snelle onbewuste verwerking de bewuste analyse van de situatie vervangt, aangezien al deze specialisten een systeem van neurale subroutines, blokken, op een diep niveau ontwikkelen. Op een bepaald moment dient een bewust "begrip" van waarom je deze of gene handeling doet, alleen als een obstakel en resulteert in niet de meest succesvolle beslissingen. Toen ik intuïtief begreep dat er een verband was tussen het leren van een vreemde taal en het leren van wiskunde, had ik gelijk. De dagelijkse praktische beheersing van het Russisch op de lange termijn laadde en versterkte mijn neurale verbindingen, en ik begon geleidelijk de blokken taalkennis met elkaar te verbinden die nu gemakkelijk konden worden gebruikt. Door uw leren in 'lagen' te organiseren (met andere woorden,op zo'n manier oefenen dat ik niet alleen wist wanneer ik het woord moest gebruiken, maar ook wanneer dat niet moest, of bij voorkeur een andere versie ervan), gebruikte ik eigenlijk dezelfde benadering die beoefenaars in wiskunde en wetenschappen volgen. Toen ik als volwassene wiskunde en techniek studeerde, begon ik dezelfde strategie te gebruiken die ik gebruikte om een vreemde taal te studeren. Ik keek naar gelijkheid, om het meest elementaire voorbeeld te nemen, de tweede wet van Newton f = ma. Ik heb getraind om te begrijpen wat elke letter betekent: f - zwaartekracht - betekende druk, m - lichaamsgewicht - oefende een soort weerstand uit op mijn druk, en een - een stimulerend gevoel van versnelling. (Het equivalent bij het leren van Russisch was om de letters van het Russische alfabet hardop te zeggen). Ik leerde gelijkheid uit mijn hoofd, zodat het zich in mijn geheugen vestigde,en ik kon met hem spelen. Als m en a grote getallen waren, hoe beïnvloedde dit dan f toen ik ze in de formule stopte? Als f groot was en a klein, hoe had dit dan invloed op m? Hoe pasten de onderdelen van gelijkheid bij elkaar? Spelen met gelijkheid was als werkwoordvervoeging. Ik begon intuïtief te begrijpen dat de vage contouren van gelijkheid waren als een gedicht doordrenkt van metaforen, waarin veel prachtige symbolische beelden verborgen zijn. Hoewel ik het in die tijd niet zo zou noemen, in werkelijkheid, om wiskunde en wetenschap goed onder de knie te krijgen, moest ik langzaam, dag in dag uit, sterke neurale 'blok'-routines bouwen (zoals die ik deed met de formule f = ma), zodat ik gemakkelijk informatie uit het langetermijngeheugen kan gebruiken, zoals ik deed met de Russische taal. Als m en a grote getallen waren, hoe beïnvloedde dit dan f toen ik ze in de formule stopte? Als f groot was en a was klein, hoe had dit dan invloed op m? Hoe pasten de onderdelen van gelijkheid bij elkaar? Spelen met gelijkheid was als werkwoordvervoeging. Ik begon intuïtief te begrijpen dat de vage contouren van gelijkheid waren als een gedicht doordrenkt van metaforen, waarin veel prachtige symbolische beelden verborgen zijn. Hoewel ik het in die tijd niet zo zou noemen, in werkelijkheid, om wiskunde en wetenschap goed onder de knie te krijgen, moest ik langzaam, dag in dag uit, sterke neurale 'blok'-routines bouwen (zoals die ik deed met de formule f = ma), zodat ik gemakkelijk informatie uit het langetermijngeheugen kan gebruiken, zoals ik deed met de Russische taal. Als m en a grote getallen waren, hoe beïnvloedde dit dan f toen ik ze in de formule stopte? Als f groot was en a was klein, hoe had dit dan invloed op m? Hoe pasten de onderdelen van gelijkheid bij elkaar? Spelen met gelijkheid was als werkwoordvervoeging. Ik begon intuïtief te begrijpen dat de wazige contouren van gelijkheid waren als een gedicht doordrenkt van metaforen, waarin veel prachtige symbolische beelden verborgen zijn. Hoewel ik het in die tijd niet zo zou noemen, in werkelijkheid, om wiskunde en wetenschap goed onder de knie te krijgen, moest ik langzaam, dag in dag uit, sterke neurale 'blok'-routines bouwen (zoals die ik deed met de formule f = ma), zodat ik gemakkelijk informatie uit het langetermijngeheugen kan gebruiken, zoals ik deed met de Russische taal.wanneer heb ik ze in de formule vervangen? Als f groot was en a was klein, hoe had dit dan invloed op m? Hoe pasten de onderdelen van gelijkheid bij elkaar? Spelen met gelijkheid was als werkwoordvervoeging. Ik begon intuïtief te begrijpen dat de wazige contouren van gelijkheid waren als een gedicht doordrenkt van metaforen, waarin veel prachtige symbolische beelden verborgen zijn. Hoewel ik het in die tijd niet zo zou noemen, in werkelijkheid, om wiskunde en wetenschap goed onder de knie te krijgen, moest ik langzaam, dag na dag, sterke neurale 'blok'-routines bouwen (zoals die ik deed met de formule f = ma), zodat ik gemakkelijk informatie uit het langetermijngeheugen kan gebruiken, zoals ik deed met de Russische taal.wanneer heb ik ze in de formule vervangen? Als f groot was en a was klein, hoe had dit dan invloed op m? Hoe pasten de onderdelen van gelijkheid bij elkaar? Spelen met gelijkheid was als werkwoordvervoeging. Ik begon intuïtief te begrijpen dat de vage contouren van gelijkheid waren als een gedicht doordrenkt van metaforen, waarin veel prachtige symbolische beelden verborgen zijn. Hoewel ik het in die tijd niet zo zou noemen, in werkelijkheid, om wiskunde en wetenschap goed onder de knie te krijgen, moest ik langzaam, dag in dag uit, sterke neurale 'blok'-routines bouwen (zoals die ik deed met de formule f = ma), zodat ik gemakkelijk informatie uit het langetermijngeheugen kan gebruiken, zoals ik deed met de Russische taal.hoe had dit invloed op m? Hoe pasten de onderdelen van gelijkheid bij elkaar? Spelen met gelijkheid was als werkwoordvervoeging. Ik begon intuïtief te begrijpen dat de wazige contouren van gelijkheid waren als een gedicht doordrenkt van metaforen, waarin veel prachtige symbolische beelden verborgen zijn. Hoewel ik het in die tijd niet zo zou noemen, in werkelijkheid, om wiskunde en wetenschap goed onder de knie te krijgen, moest ik langzaam, dag na dag, sterke neurale 'blok'-routines bouwen (zoals die ik deed met de formule f = ma), zodat ik gemakkelijk informatie uit het langetermijngeheugen kan gebruiken, zoals ik deed met de Russische taal.hoe had dit invloed op m? Hoe pasten de onderdelen van gelijkheid bij elkaar? Spelen met gelijkheid was als werkwoordvervoeging. Ik begon intuïtief te begrijpen dat de vage contouren van gelijkheid waren als een gedicht doordrenkt van metaforen, waarin veel prachtige symbolische beelden verborgen zijn. Hoewel ik het op dat moment niet zo zou noemen, in werkelijkheid, om wiskunde en wetenschap goed te beheersen, moest ik langzaam, dag in dag uit, sterke neurale 'blok'-routines bouwen (zoals die ik deed met de formule f = ma), zodat ik gemakkelijk informatie uit het langetermijngeheugen kan gebruiken, zoals ik deed met de Russische taal.waarin veel mooie symbolische afbeeldingen verborgen zijn. Hoewel ik het op dat moment niet zo zou noemen, in werkelijkheid, om wiskunde en wetenschap goed te beheersen, moest ik langzaam, dag in dag uit, sterke neurale 'blok'-routines bouwen (zoals die ik deed met de formule f = ma), zodat ik gemakkelijk informatie uit het langetermijngeheugen kan gebruiken, zoals ik deed met de Russische taal.waarin veel mooie symbolische afbeeldingen verborgen zijn. Hoewel ik het in die tijd niet zo zou noemen, in werkelijkheid, om wiskunde en wetenschap goed onder de knie te krijgen, moest ik langzaam, dag na dag, sterke neurale 'blok'-routines bouwen (zoals die ik deed met de formule f = ma), zodat ik gemakkelijk informatie uit het langetermijngeheugen kan gebruiken, zoals ik deed met de Russische taal.zoals ik deed met de Russische taal.zoals ik deed met de Russische taal.
Soms vertelden wiskundeleraren en natuurwetenschappelijke leraren me dat bouwstenen van informatie die diep in de geest verankerd waren, de absolute basis van hun succes waren. Begrip leidt niet tot vloeiendheid in kennis; Integendeel, vloeiendheid bouwt begrip op. In feite geloof ik dat echt begrip van een complex onderwerp alleen ontstaat in de voorwaarden van vrije beheersing ervan.
Met andere woorden, bij het onderwijzen van natuurwetenschappen en wiskunde is het gemakkelijk om over te schakelen naar lesmethoden waarbij de nadruk ligt op begrip, en routineuze herhaling en oefening, die de basis vormen voor vloeiendheid in het vak, worden vermeden. Ik heb Russisch geleerd, niet alleen omdat ik het begreep - begrijpen is tenslotte niet zo'n moeilijke taak, maar het kan gemakkelijk van je wegglippen. (Wat betekent het Russische woord "begrijpen"?) Ik leerde Russisch, streefde naar vloeiendheid door oefening, herhaling en proppen, alleen dat soort proppen dat het vermogen om flexibel en snel te denken stimuleerde. Ik heb wiskunde en wetenschappen geleerd door precies dezelfde principes te gebruiken. Taal, wiskunde, natuurwetenschappen, zoals bijna alle gebieden van menselijke kennis, gebruiken dezelfde mechanismen van de hersenen.
Toen ik uitbarstte in een nieuw leven, elektrotechnisch ingenieur werd en vervolgens hoogleraar engineering, verliet ik het Russisch in het verleden. Maar 25 jaar na de laatste keer dat ik dronk op een Sovjet-trawler, besloten mijn familie en ik om met de Trans-Siberische spoorweg door heel Rusland te rijden. Ondanks dat ik uitkeek naar deze reis, waar ik lang van had gedroomd, maakte ik me zorgen. In de loop der jaren heb ik nauwelijks een woord in het Russisch gesproken. Wat als ik hem helemaal vergat? Wat hebben al die jaren van vloeiend leren beheersen van de taal mij opgeleverd?
Toen we voor het eerst in de trein stapten, sprak ik natuurlijk Russisch als een tweejarig kind. Ik zocht verwoed naar woorden, maakte een fout in verbuiging en vervoeging, mijn vroegere bijna perfecte uitspraak veranderde in een vreselijk accent. Maar de basis werd gelegd en van dag tot dag werd mijn Russisch steeds beter. Maar zelfs met een basisniveau kon ik de dagelijkse taken tijdens onze reis aan. Al snel begonnen de gidsen me te benaderen zodat ik ze kon helpen vertalen voor andere passagiers. Eindelijk kwamen we aan in Moskou en stapten in een taxi. De chauffeur, zoals ik al snel besefte, zou ons als een plakkerige man gaan beroven - hij reed ons in precies de tegenovergestelde richting, door files, in de verwachting dat buitenlanders die niets begrijpen, stilzwijgend een extra uur zouden betalen tegen het tarief. Plots ontsnapten Russische woorden aan mij,die ik al decennia niet heb gesproken. Ik realiseerde me niet eens dat ik ze kende.
Ergens diep in mijn hoofd bleef mijn beheersing van de taal bestaan en kwam ik er op het juiste moment uit: het hielp ons snel uit de problemen (en hielp bij het vinden van een andere taxi). Door vloeiendheid wordt begrip een onderdeel van het bewustzijn en komt het naar voren wanneer je het nodig hebt.
Als ik vandaag zie hoezeer er in ons land een gebrek is aan specialisten in natuurwetenschappen en wiskunde, zie ik moderne trends in de pedagogiek, nadenkend over mijn eigen pad, over de kennis die ik heb opgedaan over de capaciteiten van onze hersenen, dan begrijp ik dat we veel meer zouden kunnen bereiken. Als ouders en leerkrachten kunnen we eenvoudige, toegankelijke methoden gebruiken om ons begrip te verdiepen, waardoor het nuttig en flexibel wordt. We kunnen andere mensen en onszelf ertoe aanzetten om nieuwe disciplines te bestuderen die ons te moeilijk leken - wiskunde, dans, natuurkunde, taal, scheikunde, muziek - en daardoor volledig nieuwe werelden openen voor onszelf en anderen.
Zoals ik voor mezelf begreep, is het hebben van een fundamentele, diepgewortelde vrije kennis van wiskunde (en niet alleen "begrip") de basis van alles. Het opent deuren naar veel interessante specialiteiten. Als ik terugkijk, begrijp ik dat ik mijn neigingen en interesses niet blindelings had moeten volgen. Het deel van mij dat ‘vrijelijk’ van literatuur en talen hield, was hetzelfde dat me van wiskunde en wetenschap deed houden, het veranderde en verrijkte mijn leven.
